Normalı fəzalar

$\newcommand{\bbC}{\mathbb{C}}$

$L$ xətti fəzasının hər bir $x$ elementinə bu elementin norması adlanan və $\|x\|$ kimi işarə olunan mənfi olmayan ədədi qarşı qoyan və aşağıdakı aksiomları ödəyən inikas norma adlanır:
1) $\|x\| = 0$ yalnız və yalnız $x = 0_L$ olduqda,
2) $\|\alpha x\| = |\alpha| \|x\|$,
3) $\|x + y\| \le \|x\| + \|y\|$ (üçbucaq bərabərsizliyi).
Norma ilə təchiz olunmuş xətti fəza normalı (xətti) fəza adlanır.

Normanın aksiomlarından çıxır ki, hər bir normalı fəza
$$\rho(x, y) := \|x - y\|$$
metrikası ilə birlikdə metrik fəzadır. Ona görə də metrik fəzalarda təyin etdiyimiz bütün anlayışlar (yığılma, açıq və qapalı çoxluqlar, tamlıq və s.) normalı fəzalarda da öz qüvvəsini saxlayır. Tam normalı fəza Banax fəzası adlanır.

Nümunə. $\bbC$ xətti fəzasında normanı
$$\|x\| := |x|$$
kimi, $C[a,b]$ fəzasında isə
$$\|x\| := \max_{t \in [a,b]} |x(t)|$$
kimi daxil edə bilərik. Bu fəzaların hər ikisi Banax fəzasıdır.

Nümunə. Bütün məhdud ədədi ardıcıllıqlardan ibarət çoxluq $\ell_{\infty}$ ilə işarə olunur. Bu çoxluğu
$$(x_1, x_2, \ldots) + (y_1, y_2, \ldots) = (x_1+y_1, x_2+y_2, \ldots),$$
$$\alpha (x_1, x_2, \ldots) = (\alpha x_1, \alpha x_2, \ldots)$$
əməlləri ilə təchiz etsək xətti fəza alarıq. Bu xətti fəzada hər bir $x = (x_1, x_2, \ldots)$ elementinə
$$\|x\| := \sup_{n} |x_n|$$
ədədini qarşı qoyan inikas normanın bütün şərtlərini ödəyir. $\ell_{\infty}$ normalı fəzasının bütün sıfra yığılan ədədi ardıcıllıqlardan ibarət xətti altfəzası $c_0$ ilə işarə olunur. Bu normalı fəzaların da hər ikisi Banax fəzasıdır.

Faktor-fəzada norma

Tutaq ki, $L$ normalı fəzasında $M$ qapalı xətti altfəzası verilmişdir. Onda $L/M$ faktor-fəzasında aşağıdakı kimi norma təyin etmək olar:
$$\|x+M\|_{L/M} := \inf_{z \in x+M} \|z\|.$$
Doğrudan da, $\|x+M\|_{L/M} \ge 0$ və $M$ xətti altfəzasının qapalı olmasından çıxır ki, $\|x+M\|_{L/M} = 0$ yalnız və yalnız $x \in M$ (yəni $x+M = 0_{L/M}$) olduqda. İxtiyari $\alpha \in \bbC$ üçün
$$\|\alpha x + M\|_{L/M} = \inf_{z \in \alpha x + M} \|z\| = \inf_{z \in x + M} \|\alpha z\| = \inf_{z \in x + M} |\alpha| \|z\| = |\alpha| \|x+M\|_{L/M}.$$
Nəhayət, hər bir $z \in x+M$ və $t \in y+M$ üçün doğru olan
$$\|(x+y)+M\|_{L/M} \le \|z + t\| \le \|z\| + \|t\|$$
bərabərsizliyinin sağ tərəfində infimuma keçsək,
$$\|(x+y)+M\|_{L/M} \le \|x+M\|_{L/M} + \|y+M\|_{L/M}$$
üçbucaq bərabərsizliyini alarıq.