Vektorqiymətli funksiyalar

$\newcommand{\bbC}{\mathbb{C}}$

$\Omega \subset \bbC$ oblastından $L$ Banax fəzasına təsir edən $x(\lambda)$ funksiyasına vektorqiymətli funksiya deyəcəyik. Tutaq ki, $\lambda_0 \in \Omega$ və $x_0 \in L$. Əgər
$$\lim_{\lambda \to \lambda_0} \|x(\lambda) - x_0\| = 0$$
şərti ödənərsə, onda $x_0$ elementinə $\lambda \to \lambda_0$ olduqda $x(\lambda)$ vektorqiymətli funksiyasının limiti deyilir və
$$\lim_{\lambda \to \lambda_0} x(\lambda) = x_0$$
kimi işarə olunur.

Çalışma. Əgər $x(\lambda)$, $y(\lambda)$ vektorqiymətli funksiyaları və $a(\lambda)$ ədədi funksiyası üçün
$$\lim_{\lambda \to \lambda_0} x(\lambda) = x_0, \quad \lim_{\lambda \to \lambda_0} y(\lambda) = y_0, \quad \lim_{\lambda \to \lambda_0} a(\lambda) = a_0$$
olarsa, onda
$$\lim_{\lambda \to \lambda_0} (x(\lambda)+y(\lambda)) = x_0+y_0, \quad \lim_{\lambda \to \lambda_0} a(\lambda)x(\lambda) = a_0 x_0, \quad \lim_{\lambda \to \lambda_0} \|x(\lambda)\| = \|x_0\|.$$

Tutaq ki, $x(\lambda)$ vektorqiymətli funksiyadır və $\lambda_0 \in \Omega$. Əgər
$$\lim_{\lambda \to \lambda_0} x(\lambda) = x(\lambda_0)$$
bərabərliyi ödənərsə, onda deyirik ki, $x(\lambda)$ vektorqiymətli funksiyası $\lambda_0$ nöqtəsində kəsilməzdir.

Çalışma. Əgər $x(\lambda)$, $y(\lambda)$ vektorqiymətli funksiyaları və $a(\lambda)$ ədədi funksiyası $\lambda = \lambda_0$ nöqtəsində kəsilməzdirsə, onda $x(\lambda)+y(\lambda)$, $a(\lambda)x(\lambda)$ vektorqiymətli funksiyaları və $\|x(\lambda)\|$ ədədi funksiyası da həmin nöqtədə kəsilməzdir.

Tutaq ki, $x(\lambda)$ vektorqiymətli funksiyadır və $\lambda_0 \in \Omega$. Əgər
$$x'(\lambda_0) := \lim_{\lambda \to \lambda_0} \frac{x(\lambda)-x(\lambda_0)}{\lambda-\lambda_0}$$
limiti mövcuddursa, onda $x(\lambda)$ vektorqiymətli funksiyası $\lambda = \lambda_0$ nöqtəsində diferensiallanan funksiya, bu limitin qiyməti isə həmin funksiyanın bu nöqtədəki törəməsi adlanır.

Çalışma. Əgər $x(\lambda)$, $y(\lambda)$ vektorqiymətli funksiyaları və $a(\lambda)$ ədədi funksiyası $\lambda = \lambda_0$ nöqtəsində diferensiallanırsa, onda $(x+y)(\lambda) := x(\lambda) y(\lambda)$, $(ax)(\lambda) := a(\lambda) x(\lambda)$ vektorqiymətli funksiyaları da həmin nöqtədə diferensiallanır və
$$(x+y)'(\lambda_0) = x'(\lambda_0) + y'(\lambda_0), \quad (ax)'(\lambda_0) = a'(\lambda_0)x(\lambda_0) + a(\lambda_0)x'(\lambda_0).$$