5. Линейная независимость собственных векторов, принадлежащих попарно различным собственным значениям. Алгебраическая и геометрическая кратность собственного значения. Условия диагонализируемости преобразования

$\DeclareMathOperator{\Spec}{Spec} \DeclareMathOperator{\Sp}{Sp}$

Определение. Размерность $\dim V^{\lambda}$ собственного подпространства, ассоциированного с $\lambda_0$, называется геометрической кратностью собственного значения $\lambda_0$ оператора $A$.

Определение. Кратность $\lambda_0$ как корня характеристического многочлена $\chi_A(\lambda)$ называется алгебраической кратностью собственного значения $\lambda_0$ оператора $A$.

Теорема. Геометрическая кратность $\lambda_0 \leqslant$ алгебраической кратности $\lambda_0$.

$\blacktriangle~$ Геометрическая кратность $=dimV^{\lambda}$

$V^{\lambda}$ инвариантно относительно $A$.

Пусть $A'$ – ограничение $A$ на $V^{\lambda}$. Тогда $A= \begin{pmatrix} A' & A_1 \\ 0 & A_2 \end{pmatrix}$
– матрица оператора $A$.

$\det(A-\lambda_0 E)=\det(A'-\lambda_0 E)\det(A_2-\lambda_0 E)$

$\det(A'-\lambda E)=(\lambda_0 - \lambda)^{\dim V^{\lambda_0}}$

$\forall x \in V^{\lambda_0} ~A'x=\lambda_0 x,~~A'= \begin{pmatrix} \lambda_0 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda_0 \end{pmatrix}$

$\det(A-\lambda E)=(\lambda_0 - \lambda)^{\dim V^{\lambda_0}} \cdot \det(A_2 - \lambda E) \Rightarrow$

$\Rightarrow$ кратность $\lambda_0 \geqslant \dim V^{\lambda} = $ геометрическая кратность. $\blacksquare$

Критерий диагонализируемости

Определение. Оператор $A$ – диагонализируемый, если существует базис $(e_i)$, в котором матрица оператора имеет диагональный вид.

$A= \begin{pmatrix} \lambda_1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda_n \end{pmatrix}$

Определение. Спектр оператора $A$ – множество собственных значений оператора $A$. Обозначение: $\Spec A$ или $\Sp(A)$. Собственные значения учитываются с геометрическими кратностями.

Точка спектра – простая, если ее кратность равна 1.

Спектр – простой, если все точки – простые.

Пример. Над $\mathbb{R}$ спектр может быть пустым множеством, например поворот на угол $\alpha$:

$A= \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}$

Лемма. Собственные векторы, принадлежащие различным собственным значениям, линейно независимы.

$\sum\limits_{\lambda \in \Spec A} V^{\lambda}$ – прямая, где $V^{\lambda}=\{ v ~|~ Av=\lambda v \}$

Вообще говоря, $\sum V^{\lambda} \neq V$.

$\blacktriangle$ Пусть $\lambda_1,...,\lambda_m$ – собственные значения (различные).
$V^{\lambda_1},...,V^{\lambda_m}$ – соответствующие собственные подпространства.

Выберем в каждом $V^{\lambda_i}$ по одному вектору $e_i$. Докажем, что $\{ e_i \}_{i=1}^m$ – линейно независимы.

Индукция по $m$. $m=1$ – очевидно.

Шаг индукции. Предположим, что существует нетривиальная линейная комбинация $\alpha_1e_1+...+\alpha_me_m=0$, где для определенности $\alpha_1 \neq 0$.

Применим оператор $A,~Ae_i=\lambda_i e_i$

$\alpha_1\lambda_1e_1+...+\alpha_m\lambda_me_m=0$

$\alpha_1(\lambda_1-\lambda_m)e_1+...+\alpha_{m-1}(\lambda_{m-1}-\lambda_m)e_{m-1}=0$

По предположению индукции $\alpha_i(\lambda_m - \lambda_i)=0,~i=1,...,m-1$, но

$\alpha_1 \neq 0,~\lambda_1 \neq \lambda_m \Rightarrow \alpha_1(\lambda_m - \lambda_1) \neq 0$, противоречие, поэтому не существует нетривиальной линейной комбинации $\Rightarrow e_1,...e_{m-1}$ – линейно независимы. $\blacksquare$

Теорема (критерий диагонализируемости). Пусть $A$ – линейный оператор в конечномерном векторном пространстве над полем $\mathbb{F}$. Для диагонализируемости $A$ необходимо и достаточно:

1) все корни $\chi_A(\lambda)$ лежат в $\mathbb{F}$

2) геометрическая кратность любого собственного значения равна алгебраической кратности.

$\blacktriangle$ Докажем, что 1), 2) $\Rightarrow$ диагонализируемость.

Пусть $\lambda_1,...,\lambda_m$ – собственные значения. $V^{\lambda_i}$ – соответствующие собственные подпространства.

$\dim V^{\lambda_i}=k_i,~\sum\limits_{i=1}^m k_i=n$

$\sum V^{\lambda_i}$ – прямая, $V^{\lambda_1} \oplus ... \oplus V^{\lambda_m}=V$, т.к $\sum \dim V^{\lambda_i}=\dim V$

Выбирая базисы в $V^{\lambda_i}$ и объединяя их, получим базис в $V \Rightarrow$ в этом базисе матрица $A$ – диагональная.

Докажем теперь, что диагонализируемость $\Rightarrow$ 1), 2).

Пусть $\lambda_1,...\lambda_m$ – собственные значения $A$.

$l_i=\dim V^{\lambda_i},~\sum V^{\lambda_i}$ – прямая.

Т.к. оператор $A$ диагонализируем $\Rightarrow V^{\lambda_1},...,V^{\lambda_m}$ порождают $V \Rightarrow V=V^{\lambda_1} \oplus ... \oplus V^{\lambda_m} \Rightarrow$ в базисе, получающемся объединением базисов в $V^{\lambda_i}$, $A$ записывается:

$A= \begin{pmatrix} \lambda_1 & & & & & & & & & & \\ & \ddots & & & & & & & & & \\ & & \lambda_1 & & & & &\Huge 0 & & & \\ & & & \lambda_2 & & & & & & & \\ & & & & \ddots & & & & & & \\ & & & & & \lambda_2 & & & & & \\ & & & & & & \ddots & & & \\ & &\Huge 0 & & & & & \lambda_m & & \\ & & & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & & & \lambda_m \\ \end{pmatrix}$

$\chi_A(\lambda)=(\lambda - \lambda_1)^{l_1}...(\lambda - \lambda_m)^{l_m},~\lambda_1,...,\lambda_m \in \mathbb{F} \Rightarrow l_i$ – в точности алгебраические кратности $\lambda_i. ~\blacksquare$