13. Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
$\DeclareMathOperator{\rank}{rank}$
Определение. Квадратичной формой на конечномерном векторном пространстве $V$ над $\mathbb{F}$ называется функция $q:V \rightarrow \mathbb{F}$, обладающая двумя свойствами:
1) $q(-v)=q(v)~\forall v \in V$
2) $f(x,y)=\frac{1}{2}(q(x+y)-q(x)-q(y))$ – билинейная форма (симметрическая).
Определение. Симметрическая билинейная форма $f$, определенная формулой $f(x,y)=\frac{1}{2}(q(x+y)-q(x)-q(y))$, получается из $q$ поляризацией.
$f$ – билинейная форма, полярная к квадратичной форме $q$.
Пусть $f$ – произвольная билинейная симметричная форма. Положим:
$q_f(x)=f(x,x)$
$q_f(-x)=f(-x,-x)=f(x,x)=q_f(x)$ и
$f(x,y)=f(x,y)=\frac{1}{2}(f(x+y,x+y)-f(x,x)-f(y,y))$
То есть, по билинейной симметричной форме можно построить квадратичную форму.
Теорема. Каждая квадратичная форма $q$ однозначно представляется по своей билинейной форме $f$, т.е. $q=q_f$.
$\blacktriangle~ f(x,y)=\frac{1}{2}(q(x+y)-q(x)-q(y))$
Пусть $y=-x$. Тогда
$$-f(x,x)=\frac{1}{2}(q(0)-q(x)-q(-x)) \Rightarrow q(x)=f(x,x)+\frac{1}{2}q(0)$$
Так как $f$ – билинейная форма, то $f(0,0)=0$.
$x=0 \Rightarrow q(0)=\frac{1}{2}q(0) \Rightarrow q(0)=0 \Rightarrow f(x,x)=q(x)$.
Определение. Матрицей квадратичной формы $q=q_f$ относительно базиса $(e_1,...,e_n)$ пространства $V$ называется матрица $F$ билинейной формы $f$, полярной к $q$ в этом же базисе.
$F=(f_{ij})$ – матрица квадратичной формы.
$$f_{ij}=\frac{1}{2}(q(e_i+e_j)-q(e_i)-q(e_j))$$
Любой симметричной матрице $F=(f_{ij})$ отвечает квадратичная форма $q$:
$$q(x)=f(x,x)=X^TFX=\sum\limits_{i,j} f_{i,j}x_ix_j$$
Таким образом, квадратичная форма – однородная квадратичная функция координат $x_1,...,x_n$ вектора $x=x_1e_1+...+x_ne_n$.
Определение. Квадратичная форма $q$ имеет в базисе $(e_1,...,e_n)$ пространства $V$ канонический (диагональный) вид, если для каждого $x=\sum x_ie_i \in V$
$$q(x)=\sum\limits_i f_{ii}x_i^2$$
Базис $(e_i)$ при этом называется каноническим базисом для $q$.
То же самое и для соответствующей полярной билинейной формы:
$$f(x,y)=\sum\limits_i^n f_{ii}x_iy_i$$
Матрица $F$ имеет диагональный вид.
Замечание. В каноническом виде $\rank q_f=\rank f=$ число отличных от нуля коэффициентов $f_{ii}$.
Определение. Подпространство (ядро билинейной формы)
$$L_q=\{ u \in V ~|~ q(u+v)=q(u)+q(v)~\forall v \in V \}$$
называется изотропным (нулевым) подпространством.
Канонический вид квадратичной формы
Теорема. Для всякой симметричной билинейной формы $f$ на $V$ существует канонический базис.
$\blacktriangle$ Индукция по размерности.
$n=1$ – верно. Если $f \equiv 0$, то теорема очевидна: любой базис годится.
Предположим, что $f \neq 0$.
Существует вектор $e_1 \in V: f(e_1,e_1)=q(e_1) \neq 0$. Тогда линейная функция $f_1:x \rightarrow f(x,e_1)$ отлична от нуля ($f_1( e_1) \neq 0$). Рассмотрим $L=Ker f_1= \{x \in v ~|~ f_1(x)=0 \}$
$f_1$ – нетривиальная $\Rightarrow \dim L=n-1$ (т.к. это линейная функция).
По предположению индукции $L$ обладает базисом, в котором матрица формы $f$, ограниченной на $L$, диагональна, т.е.
$$f(e_i,e_j)=0,~~i \neq j,~~i,j=2,...,n$$
По построению $f(e_i,e_1)=0,~i=2,...,n$. Получаем свойства $f(e_i,e_j)=0,~i \neq j$, характеризующие канонический базис $(e_k)$.
Осталось проверить, что $(e_1,...,e_n)$ – линейно независимы.
Допустим: $\alpha_1e_1+...+\alpha_ne_n=0$ (нетривиальная). Так как $e_2,...,e_n$ – линейно независимы, то $\alpha_1 \neq 0$ и $e_1=\sum\limits_{i \geqslant 2} \beta_ie_i$
$$0 \neq f_1(e_1)=f_1(\sum\limits_{i \geqslant 2} \beta_ie_i)=\sum\limits_{i \geqslant 2} \beta_if_1(e_i)=0$$
– противоречие $\Rightarrow e_1,...,e_n$ – канонический базис. $\blacksquare$
Следствие. Пусть на векторном пространстве $V$ размерности $n$ задана квадратичная форма $q$ ранга $r \leqslant n$. Тогда в $V$ существует базис $(e_1,...,e_n)$, такой что:
$$q(x)=\lambda_1x_1^2+...+\lambda_rx_r^2$$
Следствие. Пусть $F$ – симметричная матрица. Тогда существует невырожденная матрица $A$, такая что $A^TFA$ – диагональная матрица того же ранга, что и $F$.