$\newcommand{\bbC}{\mathbb{C}}$ $\newcommand{\bbN}{\mathbb{N}}$ $\newcommand{\bbR}{\mathbb{R}}$ $\DeclareMathOperator{\codim}{codim}$ $\DeclareMathOperator{\linspan}{span}$ Aşağıdakı aksiomları ödəmək şərti ilə hər bir $x$, $y$ elementlər cütünə bu elementlərin *cəmi* adlanan $x+y$ elementi, hər bir $x$ elementi və $\alpha \in \bbC$ kompleks ədədinə isə $x$ elementinin $\alpha$ ədədinə *hasili* adlanan $\alpha x$ elementi qarşı qoyulmuş $L$ çoxluğu *kompleks xətti fəza* adlanır: 1) $x + y = y + x$, 2) $(x + y) + z = x + (y + z)$, 3) $L$ fəzasının *sıfır elementi* (və ya *sıfrı*) adlanan elə $0_L \in L$ elementi var ki, istənilən $x \in L$ üçün $x + 0_L = 0_L + x = x$, 4) istənilən $x \in L$ elementi üçün bu elementin *əksi* adlanan elə $-x$ elementi var ki, $x + (-x) = (-x) + x = 0_L$, 5) $1 \cdot x = x$, 6) $\alpha (\beta x) = (\alpha \beta) x$, 7) $(\alpha + \beta) x = \alpha x + \beta x$, 8) $\alpha (x + y) = \alpha x + \alpha y$. Bu tərifdə $\bbC$ kompleks ədədlər çoxluğunu $\bbR$ həqiqi ədədlər çoxluğu ilə əvəz etsək *həqiqi xətti fəzanın* tərifini alarıq. Bundan sonra sadəcə *xətti fəza* dedikdə kompleks xətti fəzaları nəzərdə tutacağıq. Həqiqi xətti fəzalardan danışdıqda isə bunu xüsusi olaraq qeyd edəcəyik. **Nümunə.** Yalnız sıfır elementdən ibarət olan $\{0\}$ çoxluğu xətti fəzadır. Bu fəzada $0 + 0 = \alpha 0 = 0$, $\forall \alpha \in \bbC$. **Nümunə.** $\bbC$ çoxluğunun özü ədədlərin toplama və vurma əməllərinə nəzərən xətti fəza təşkil edir. **Nümunə.** Tutaq ki, $n \in \bbN$. Hər bir elementi $n$ sayda nizamlanmış kompleks ədədlər dəsti olan çoxluq $\bbC^n$ ilə işarə olunur. Bu çoxluqda $$(x_1, x_2, \ldots, x_n) + (y_1, y_2, \ldots, y_n) = (x_1+y_1, x_2+y_2, \ldots, x_n+y_n),$$ $$\alpha (x_1, x_2, \ldots, x_n) = (\alpha x_1, \alpha x_2, \ldots, \alpha x_n)$$ qəbul etsək xətti fəza almış olarıq. **Nümunə.** Verilmiş $[a,b]$ parçasında kəsilməz olan bütün funksiyalar çoxluğunu $C[a,b]$ ilə, $n \ge 1$ dəfə kəsilməz diferensiallanan bütün funksiyalar çoxluğunu isə $C^n[a,b]$ ilə işarə edək. Funksiyaların adi mənada (nöqtəvi) cəmi və ədədə hasili əməllərinə nəzərən $C[a,b]$ və $C^n[a,b]$ xətti fəzalardır. Tutaq ki, $L$ xətti fəzadır. Bu fəzanın $x_1, x_2, \ldots, x_n$ elementləri vasitəsilə düzəldilmiş $\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 + \ldots + \alpha_n x_n$ şəklində ifadəyə $x_1, x_2, \ldots, x_n$ elementlərinin *xətti kombinasiyası* deyilir. Aydındır ki, xətti kombinasiyanın əmsallarının, yəni $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ ədədlərinin hamısı sıfra bərabər olduqda xətti kombinasiya fəzanın sıfrına bərabər olur. Bunun tərsi də doğru olarsa, yəni $$\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 + \ldots + \alpha_n x_n = 0_L$$ olmasından $\alpha_1 = \alpha_2 = \ldots = \alpha_n = 0$ olması alınarsa, onda $x_1, x_2, \ldots, x_n$ elementləri *xətti asılı olmayan* elementlər adlanır. Əks halda, yəni heç olmazsa biri sıfırdan fərqli elə $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ ədədləri tapmaq olarsa ki, $$\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 + \ldots + \alpha_n x_n = 0_L$$ olsun, onda $x_1, x_2, \ldots, x_n$ elementləri *xətti asılı (olan)* elementlər adlanır. Əgər $L$ xətti fəzasının elementlərindən ibarət $S \subset L$ çoxluğunun heç bir sonlu altçoxluğu xətti asılı deyilsə, onda $S$ *xətti asılı olmayan* çoxluq (və ya sistem) adlanır. Əgər müəyyən mənfi olmayan $n$ tam ədədi üçün $L$ xətti fəzasında $n$ sayda xətti asılı olmayan element tapmaq olarsa və bu fəzadakı ixtiyari $n+1$ sayda element xətti asılı olarsa, onda $L$ *sonlu ölçülü* xətti fəza, $n$ ədədi isə $L$ xətti fəzasının *ölçüsü* adlanır və $\dim L = n$ kimi işarə olunur. Belə $n$ ədədi tapmaq mümkün olmadıqda isə, yəni $L$ xətti fəzasında sonsuz sayda elementdən ibarət xətti asılı olmayan sistem varsa, $L$ *sonsuz ölçülü* xətti fəza adlanır və $\dim L = \infty$ qəbul edilir. **Nümunə.** Yuxarıdakı nümunədəki xətti fəzalar üçün $\dim \{0\} = 0$, $\dim \bbC = 1$ və $\dim \bbC^n = n$. Digər tərəfdən, $1$, $t$, $t^2$, $\ldots$ elementlər sistemi $C[a,b]$ xətti fəzasında xətti asılı olmayan sistem olduğu üçün $\dim C[a,b] = \infty$. ## Xətti altfəzalar Əgər $L$ xətti fəzasının $M$ altçoxluğu $L$ xətti fəzasındakı toplama və ədədə vurma əməllərinə nəzərən xətti fəza əmələ gətirərsə, yəni istənilən $\alpha, \beta$ ədədləri və $x, y \in M$ elementləri üçün $\alpha x + \beta y \in M$ olarsa, onda $M$ altçoxluğu $L$ xətti fəzasının *xətti altfəzası* adlanır. **Nümunə.** Hər bir $n \in \bbN$ ədədi üçün $C^n[a,b]$ çoxluğu $C[a,b]$ xətti fəzasının xətti altfəzasıdır. **Çalışma.** $L$ xətti fəzasının $M_i$, $i \in I$ xətti altfəzaları sistemi verilmişdir. Onda $\bigcap_{i \in I} M_i$ çoxluğu da $L$ xətti fəzasının xətti altfəzasıdır. Tutaq ki, $S \subset L$ hər hansı çoxluqdur. Bu çoxluğu özündə saxlayan ən kiçik xətti altfəza, başqa sözlə desək, $S$ çoxluğunu özündə saxlayan bütün xətti altfəzaların kəsişməsi $S$ çoxluğunun *xətti örtüyü* adlanır və $\linspan S$ ilə işarə olunur. Qeyd edək ki, $\linspan S$ çoxluğu $S$ çoxluğunun elementlərinin bütün sonlu xətti kombinasiyaları çoxluğu ilə üst-üstə düşür. **Nümunə.** Qeyd olunmuş $n \in \bbN$ ədədi üçün $1$, $t$, $t^2$, $\ldots$, $t^n$ sisteminin $C[a,b]$ fəzasındakı xətti örtüyü dərəcəsi $n$-i aşmayan bütün çoxhədlilərdən ibarətdir. ## Faktor-fəzalar $L$ xətti fəzasının $M$ və $N$ altçoxluqlarının *cəmi* $$M+N := \{ x+y \mid x \in M, \ y \in N \}$$ düsturu ilə təyin olunur. Bu zaman xətti altçoxluqların cəmi xətti altçoxluq olur. Yalnız bir $x$ elementindən ibarət $M$ altçoxluğu üçün həmçinin $$x+N := \{x\}+N = \{ x+y \mid y \in N \}$$ işarələməsindən də istifadə edəcəyik. Tutaq ki, $L$ xətti fəzasında $M$ xətti altfəzası verilmişdir. Onda $x$ və $y$ elementlərinin $x-y$ fərqi $M$ xətti altfəzasına daxil olduqda $x+M$ və $y+M$ çoxluqları üst-üstə düşür, daxil olmadıqda isə $x+M$ və $y+M$ çoxluqları bir-biri ilə kəsişmir. Ona görə də $L$ xətti fəzası $x+M$ şəklində altçoxluqlardan ibarət hissələrə bölünmüş olur. Elementləri $x+M$ şəklində altçoxluqlardan ibarət olan bu yeni çoxluq $L$ xətti fəzasının $M$ xətti altfəzasına nəzərən *faktor-fəzası* adlanır və $L/M$ ilə işarə olunur. Faktor-fəzada $x+M$ və $y+M$ elementlərinin cəmi olaraq $(x+y)+M$ elementini, $x+M$ elementinin $\alpha$ ədədinə hasili olaraq isə $\alpha x + M$ elementini təyin etsək, bu qarşıqoyma korrekt olacaq və xətti fəzanın bütün aksiomlarını ödəyəcək. Beləliklə, $L/M$ faktor-fəzası xətti fəzadır. Bu fəzanın ölçüsü $M$ xətti altfəzasının $L$ xətti fəzasındakı *koölçüsü* adlanır və $\codim_L M$ və ya sadəcə $\codim M$ ilə işarə olunur: $$\codim M := \dim (L/M).$$ **Çalışma.** Əgər $L$ sonlu ölçülü xətti fəza, $M$ isə onun xətti altfəzasıdırsa, onda $\codim M = \dim L - \dim M$.