Xətti fəzalar

$\newcommand{\bbC}{\mathbb{C}}$
$\newcommand{\bbN}{\mathbb{N}}$
$\newcommand{\bbR}{\mathbb{R}}$
$\DeclareMathOperator{\codim}{codim}$
$\DeclareMathOperator{\linspan}{span}$

Aşağıdakı aksiomları ödəmək şərti ilə hər bir $x$, $y$ elementlər cütünə bu elementlərin cəmi adlanan $x+y$ elementi, hər bir $x$ elementi və $\alpha \in \bbC$ kompleks ədədinə isə $x$ elementinin $\alpha$ ədədinə hasili adlanan $\alpha x$ elementi qarşı qoyulmuş $L$ çoxluğu kompleks xətti fəza adlanır:
1) $x + y = y + x$,
2) $(x + y) + z = x + (y + z)$,
3) $L$ fəzasının sıfır elementi (və ya sıfrı) adlanan elə $0_L \in L$ elementi var ki, istənilən $x \in L$ üçün $x + 0_L = 0_L + x = x$,
4) istənilən $x \in L$ elementi üçün bu elementin əksi adlanan elə $-x$ elementi var ki, $x + (-x) = (-x) + x = 0_L$,
5) $1 \cdot x = x$,
6) $\alpha (\beta x) = (\alpha \beta) x$,
7) $(\alpha + \beta) x = \alpha x + \beta x$,
8) $\alpha (x + y) = \alpha x + \alpha y$.

Bu tərifdə $\bbC$ kompleks ədədlər çoxluğunu $\bbR$ həqiqi ədədlər çoxluğu ilə əvəz etsək həqiqi xətti fəzanın tərifini alarıq. Bundan sonra sadəcə xətti fəza dedikdə kompleks xətti fəzaları nəzərdə tutacağıq. Həqiqi xətti fəzalardan danışdıqda isə bunu xüsusi olaraq qeyd edəcəyik.

Nümunə. Yalnız sıfır elementdən ibarət olan $\{0\}$ çoxluğu xətti fəzadır. Bu fəzada $0 + 0 = \alpha 0 = 0$, $\forall \alpha \in \bbC$.

Nümunə. $\bbC$ çoxluğunun özü ədədlərin toplama və vurma əməllərinə nəzərən xətti fəza təşkil edir.

Nümunə. Tutaq ki, $n \in \bbN$. Hər bir elementi $n$ sayda nizamlanmış kompleks ədədlər dəsti olan çoxluq $\bbC^n$ ilə işarə olunur. Bu çoxluqda
$$(x_1, x_2, \ldots, x_n) + (y_1, y_2, \ldots, y_n) = (x_1+y_1, x_2+y_2, \ldots, x_n+y_n),$$
$$\alpha (x_1, x_2, \ldots, x_n) = (\alpha x_1, \alpha x_2, \ldots, \alpha x_n)$$
qəbul etsək xətti fəza almış olarıq.

Nümunə. Verilmiş $[a,b]$ parçasında kəsilməz olan bütün funksiyalar çoxluğunu $C[a,b]$ ilə, $n \ge 1$ dəfə kəsilməz diferensiallanan bütün funksiyalar çoxluğunu isə $C^n[a,b]$ ilə işarə edək. Funksiyaların adi mənada (nöqtəvi) cəmi və ədədə hasili əməllərinə nəzərən $C[a,b]$ və $C^n[a,b]$ xətti fəzalardır.

Tutaq ki, $L$ xətti fəzadır. Bu fəzanın $x_1, x_2, \ldots, x_n$ elementləri vasitəsilə düzəldilmiş $\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 + \ldots + \alpha_n x_n$ şəklində ifadəyə $x_1, x_2, \ldots, x_n$ elementlərinin xətti kombinasiyası deyilir. Aydındır ki, xətti kombinasiyanın əmsallarının, yəni $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ ədədlərinin hamısı sıfra bərabər olduqda xətti kombinasiya fəzanın sıfrına bərabər olur. Bunun tərsi də doğru olarsa, yəni
$$\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 + \ldots + \alpha_n x_n = 0_L$$
olmasından $\alpha_1 = \alpha_2 = \ldots = \alpha_n = 0$ olması alınarsa, onda $x_1, x_2, \ldots, x_n$ elementləri xətti asılı olmayan elementlər adlanır. Əks halda, yəni heç olmazsa biri sıfırdan fərqli elə $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ ədədləri tapmaq olarsa ki,
$$\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 + \ldots + \alpha_n x_n = 0_L$$
olsun, onda $x_1, x_2, \ldots, x_n$ elementləri xətti asılı (olan) elementlər adlanır. Əgər $L$ xətti fəzasının elementlərindən ibarət $S \subset L$ çoxluğunun heç bir sonlu altçoxluğu xətti asılı deyilsə, onda $S$ xətti asılı olmayan çoxluq (və ya sistem) adlanır.

Əgər müəyyən mənfi olmayan $n$ tam ədədi üçün $L$ xətti fəzasında $n$ sayda xətti asılı olmayan element tapmaq olarsa və bu fəzadakı ixtiyari $n+1$ sayda element xətti asılı olarsa, onda $L$ sonlu ölçülü xətti fəza, $n$ ədədi isə $L$ xətti fəzasının ölçüsü adlanır və $\dim L = n$ kimi işarə olunur. Belə $n$ ədədi tapmaq mümkün olmadıqda isə, yəni $L$ xətti fəzasında sonsuz sayda elementdən ibarət xətti asılı olmayan sistem varsa, $L$ sonsuz ölçülü xətti fəza adlanır və $\dim L = \infty$ qəbul edilir.

Nümunə. Yuxarıdakı nümunədəki xətti fəzalar üçün $\dim \{0\} = 0$, $\dim \bbC = 1$ və $\dim \bbC^n = n$. Digər tərəfdən, $1$, $t$, $t^2$, $\ldots$ elementlər sistemi $C[a,b]$ xətti fəzasında xətti asılı olmayan sistem olduğu üçün $\dim C[a,b] = \infty$.

Xətti altfəzalar

Əgər $L$ xətti fəzasının $M$ altçoxluğu $L$ xətti fəzasındakı toplama və ədədə vurma əməllərinə nəzərən xətti fəza əmələ gətirərsə, yəni istənilən $\alpha, \beta$ ədədləri və $x, y \in M$ elementləri üçün $\alpha x + \beta y \in M$ olarsa, onda $M$ altçoxluğu $L$ xətti fəzasının xətti altfəzası adlanır.

Nümunə. Hər bir $n \in \bbN$ ədədi üçün $C^n[a,b]$ çoxluğu $C[a,b]$ xətti fəzasının xətti altfəzasıdır.

Çalışma. $L$ xətti fəzasının $M_i$, $i \in I$ xətti altfəzaları sistemi verilmişdir. Onda $\bigcap_{i \in I} M_i$ çoxluğu da $L$ xətti fəzasının xətti altfəzasıdır.

Tutaq ki, $S \subset L$ hər hansı çoxluqdur. Bu çoxluğu özündə saxlayan ən kiçik xətti altfəza, başqa sözlə desək, $S$ çoxluğunu özündə saxlayan bütün xətti altfəzaların kəsişməsi $S$ çoxluğunun xətti örtüyü adlanır və $\linspan S$ ilə işarə olunur. Qeyd edək ki, $\linspan S$ çoxluğu $S$ çoxluğunun elementlərinin bütün sonlu xətti kombinasiyaları çoxluğu ilə üst-üstə düşür.

Nümunə. Qeyd olunmuş $n \in \bbN$ ədədi üçün $1$, $t$, $t^2$, $\ldots$, $t^n$ sisteminin $C[a,b]$ fəzasındakı xətti örtüyü dərəcəsi $n$-i aşmayan bütün çoxhədlilərdən ibarətdir.

Faktor-fəzalar

$L$ xətti fəzasının $M$ və $N$ altçoxluqlarının cəmi
$$M+N := \{ x+y \mid x \in M, \ y \in N \}$$
düsturu ilə təyin olunur. Bu zaman xətti altçoxluqların cəmi xətti altçoxluq olur. Yalnız bir $x$ elementindən ibarət $M$ altçoxluğu üçün həmçinin
$$x+N := \{x\}+N = \{ x+y \mid y \in N \}$$
işarələməsindən də istifadə edəcəyik.

Tutaq ki, $L$ xətti fəzasında $M$ xətti altfəzası verilmişdir. Onda $x$ və $y$ elementlərinin $x-y$ fərqi $M$ xətti altfəzasına daxil olduqda $x+M$ və $y+M$ çoxluqları üst-üstə düşür, daxil olmadıqda isə $x+M$ və $y+M$ çoxluqları bir-biri ilə kəsişmir. Ona görə də $L$ xətti fəzası $x+M$ şəklində altçoxluqlardan ibarət hissələrə bölünmüş olur. Elementləri $x+M$ şəklində altçoxluqlardan ibarət olan bu yeni çoxluq $L$ xətti fəzasının $M$ xətti altfəzasına nəzərən faktor-fəzası adlanır və $L/M$ ilə işarə olunur. Faktor-fəzada $x+M$ və $y+M$ elementlərinin cəmi olaraq $(x+y)+M$ elementini, $x+M$ elementinin $\alpha$ ədədinə hasili olaraq isə $\alpha x + M$ elementini təyin etsək, bu qarşıqoyma korrekt olacaq və xətti fəzanın bütün aksiomlarını ödəyəcək. Beləliklə, $L/M$ faktor-fəzası xətti fəzadır. Bu fəzanın ölçüsü $M$ xətti altfəzasının $L$ xətti fəzasındakı koölçüsü adlanır və $\codim_L M$ və ya sadəcə $\codim M$ ilə işarə olunur:
$$\codim M := \dim (L/M).$$

Çalışma. Əgər $L$ sonlu ölçülü xətti fəza, $M$ isə onun xətti altfəzasıdırsa, onda $\codim M = \dim L - \dim M$.