$\newcommand{\bbC}{\mathbb{C}}$

  $L$ xətti fəzasının hər $x$, $y$ elementlər cütünə bu elementlərin *skalyar hasili* adlanan və $\langle x, y \rangle$ kimi işarə olunan ədədi qarşı qoyan və aşağıdakı şərtləri ödəyən inikas *skalyar hasil* adlanır:
  1) $\langle x, x \rangle \ge 0$; $\langle x, x \rangle = 0$ yalnız və yalnız $x = 0_L$ olduqda,
  2) $\langle x, y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle}$,
  3) $\langle \alpha x + \beta y, z \rangle = \alpha \langle x, z \rangle + \beta \langle y, z \rangle$.
Skalyar hasil ilə təchiz olunmuş xətti fəza *skalyar hasilli fəza* adlanır.

**Lemma.** (Koşi–Bunyakovski–Şvarts bərabərsizliyi)  Skalyar hasilli fəzanın ixtiyari $x$ və $y$ elementləri üçün
$$|\langle x, y \rangle|^2 \le \langle x, x \rangle \langle y, y \rangle$$
bərabərsizliyi doğrudur. Bərabərlik halı isə yalnız və yalnız $x$ və $y$ elementləri xətti asılı olduqda baş verir.
***İsbatı.***  Əgər $\langle x, y \rangle = 0$ olarsa bərabərsizliyin doğruluğu aydındır. Bərabərlik olması üçün isə $x$ və $y$ elementlərindən heç olmazsa biri sıfır element olmalıdır ki, bu halda da $x$ və $y$ xətti asılı olur.

İndi isə $\langle x, y \rangle \ne 0$ halına baxaq. İstənilən elementin özünə skalyar hasilinin mənfi olmamasına əsasən $\alpha = \langle x, x \rangle / \langle y, x \rangle$ qəbul etsək yaza bilərik:
$$0 \le \langle x - \alpha y, x - \alpha y \rangle = - \langle x, x \rangle + \frac{\langle x, x \rangle^2 \langle y, y \rangle}{|\langle x, y \rangle|^2}.$$
Buradan isə $\langle x, x \rangle \ge 0$ olduğunu nəzərə alsaq lemmadakı bərabərsizliyin doğruluğu alınır. Bərabərlik olması üçün isə $x = \alpha y$ olmalıdır.
$\square$

Skalyar hasilin aksiomları və Koşi–Bunyakovski–Şvarts bərabərsizliyindən çıxır ki, hər bir skalyar hasilli fəza
$$\|x\| := \sqrt{\langle x, x \rangle}$$
norması ilə birlikdə normalı fəzadır. Tam skalyar hasilli fəza *Hilbert fəzası* adlanır.

**Nümunə.**  $\bbC^n$ fəzasında $x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$ və $y = (y_1, y_2, \ldots, y_n)$ elementlərinin skalyar hasilini
$$\langle x, y \rangle := x_1 \overline{y}_1 + x_2 \overline{y}_2 + \ldots + x_n \overline{y}_n$$
kimi təyin etsək skalyar hasilli fəza alarıq. Bu fəza Hilbert fəzasıdır.

**Çalışma.**  Skalyar hasilli fəzada ixtiyari $x$ və $y$ elementləri üçün
$$\|x+y\|^2 + \|x-y\|^2 = 2\|x\|^2 + 2\|y\|^2$$
*paraleloqram eyniliyi* doğrudur.


**Çalışma.**  $C[a,b]$ normalı fəzası skalyar hasilli fəza deyil, yəni $[a,b]$ parçasında kəsilməz olan bütün funksiyalar çoxluğunda elə skalyar hasil təyin etmək olmaz ki, hər bir $x = x(t)$ üçün
$$\sqrt{\langle x, x \rangle} = \max_{t \in [a,b]} |x(t)|$$
olsun.


## Ortonormal sistemlər


Skalyar hasilli fəzanın $x$ və $y$ elementləri üçün $\langle x, y \rangle = 0$ olarsa, bu elementlər *ortoqonal elementlər* adlanır. Əgər $x_i$, $i \in I$ elementlər sisteminin ixtiyari iki müxtəlif elementi ortoqonal olarsa, belə sistem *ortoqonal sistem* adlanır. Buna əlavə olaraq, bu sistemin hər elementinin norması vahidə bərabər olarsa, yəni
$$\langle x_i, x_j \rangle = \left\{
\begin{array}{ll}
  1, & i = j \textrm{ olduqda}, \\
  0, & i \ne j \textrm{ olduqda}
\end{array}
\right.$$
bərabərlikləri ödəndikdə, $x_i$ sisteminə *ortonormal sistem* deyilir. Ortonormal sistem *tam* olduqda, yəni bu sistemin xətti örtüyü hər yerdə sıx olduqda, belə sistem *ortonormal bazis* adlanır.

**Nümunə.**  Kompleks ədədlərdən ibarət olan və $\sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^2 < \infty$ şərtini ödəyən bütün ədədi ardıcıllıqlar çoxluğunda $x = (x_1, x_2, \ldots)$ və $y = (y_1, y_2, \ldots)$ elementlərinin skalyar hasilini
$$\langle x, y \rangle := \sum_{n=1}^{\infty} x_n \overline{y}_n$$
ifadəsi ilə təyin edək. Bu fəza $\ell_2$ ilə işarə olunur və Hilbert fəzasıdır. $\ell_2$ fəzasında
\begin{gather*}
  e_1 = (1, 0, 0, 0, \ldots),\\
  e_2 = (0, 1, 0, 0, \ldots),\\
  e_3 = (0, 0, 1, 0, \ldots),\\
  \vdots
\end{gather*}
sistemi ortonormal bazis əmələ gətirir.

Tutaq ki, skalyar hasilli fəzada hər hansı xətti asılı olmayan $u_1$, $u_2$, $\ldots$ elementlər sistemi verilmişdir. Bu elementlər sistemi vasitəsilə düzəldilmiş
\begin{gather*}
  v_1 = \frac{u_1}{\|u_1\|},\\
  v_2 = \frac{u_2 - \langle u_2, v_1 \rangle v_1}{\|u_2 - \langle u_2, v_1 \rangle v_1\|},\\
  \vdots\\
  v_n = \frac{u_n - \sum_{k=1}^{n-1} \langle u_n, v_k \rangle v_k}{\|u_n - \sum_{k=1}^{n-1} \langle u_n, v_k \rangle v_k\|},\\
  \vdots
\end{gather*}
sistemi ortonormal sistemdir. İxtiyari xətti asılı olmayan sistemin köməyi ilə ortonormal sistem düzəltməyə imkan verən bu proses *Qram–Şmidt ortoqonallaşdırma prosesi* adlanır.

**Çalışma.**  Hər bir separabel skalyar hasilli fəzada ortonormal bazis var.