Sıxan inikas prinsipi

Tutaq ki, $X$ metrik fəzadır və $A \colon X \to X$ bu fəzada təyin olunmuş inikasdır. Əgər elə $\alpha < 1$ ədədi varsa ki, ixtiyari $x$, $y \in X$ elementləri üçün
$$\rho(Ax, Ay) \le \alpha \rho(x, y)$$
bərabərsizliyi ödənsin, onda $A$ inikasına sıxan inikas deyilir. Əgər $x \in X$ elementi
$$Ax = x$$
bərabərliyini ödəyərsə, onda bu element $A$ inikasının tərpənməz nöqtəsi adlanır.

Teorem. Tam metrik fəzada təyin olunmuş hər bir sıxan inikas yeganə tərpənməz nöqtəyə malikdir.
İsbatı. İxtiyari $x_0 \in X$ nöqtəsini qeyd edib,
$$x_1 = A x_0, \quad x_2 = A x_1, \quad \ldots$$
ardıcıllığını quraq. İstənilən $m < n$ üçün doğru olan
\begin{multline*} \rho(x_m, x_n) \le \alpha^m \rho(x_0, x_{n-m}) \le \alpha^m \left( \rho(x_0, x_1) + \rho(x_1, x_2) + \ldots + \rho(x_{n-m-1}, x_{n-m}) \right) \le \\ \le \alpha^m \rho(x_0, x_1) (1 + \alpha + \ldots + \alpha^{n-m-1}) \le \frac{\alpha^m}{1-\alpha}\rho(x_0, x_1) \end{multline*}
bərabərsizliyindən çıxır ki, $\{x_n\}$ ardıcıllığı fundamentaldır və fəza tam olduğuna görə bu ardıcıllıq müəyyən $x \in X$ elementinə yığılır. Bu element $A$ inikasının tərpənməz nöqtəsidir, çünki
$$0 \le \rho(Ax, x) \le \rho(Ax, x_{n+1}) + \rho(x_{n+1}, x) \le \alpha \rho(x, x_n) + \rho(x_{n+1}, x) \to 0, \quad n \to \infty.$$

Əgər $x$ və $y$ elementləri $A$ sıxan inikasının tərpənməz nöqtələridirsə, onda
$$\rho(x, y) = \rho(Ax, Ay) \le \alpha \rho(x, y)$$
bərabərsizliyindən $\alpha < 1$ şərtinə əsasən çıxır ki, $x = y$. Bu isə o deməkdir ki, tərpənməz nöqtə yeganədir.
$\square$

Nəticə. Tam metrik fəzada təyin olunmuş $A$ inikasının müəyyən $A^n$ qüvvəti sıxan inikas olarsa, onda $A$ inikası yeganə tərpənməz nöqtəyə malikdir.
İsbatı. Yuxarıdakı teoremə əsasən, $B = A^n$ inikası $x \in X$ tərpənməz nöqtəsinə malikdir. Teoremin isbatından göründüyü kimi, ixtiyari $x_0$ elementi üçün $x_0$, $B x_0$, $B^2 x_0$, $\ldots$ ardıcıllığı $x$ elementinə yığılır. Ona görə də $x_0 := Ax$ qəbul etsək
$$Ax = A B^k x = B^k A x = B^k x_0 \to x, \quad k \to \infty$$
olduğunu, yəni $Ax = x$ alarıq. $A$ inikasının hər bir tərpənməz nöqtəsi $B$ inikası üçün də tərpənməz nöqtə olduğundan belə $x$ nöqtəsi yeganədir.
$\square$