ЗБЧ для попарно независимых случайных величин

Теорема (ЗБЧ для попарно независимых случайных величин)

Пусть $\xi_1, \ldots, \xi_N$ - попарно независимые одинакого распределенные, бернулиевские случайные величины. $E\xi_i = \frac{1}{2} - \varepsilon$. Тогда $$Pr\{\xi_1 + \ldots \xi_N \ge \frac{1}{2}N\} \le \frac{1}{\varepsilon^2}\frac{1}{N}$$

Доказательство

Следствие попарной независимости: $$D(\xi_1 + \ldots + \xi_N) = D\xi_1 + \ldots + D\xi_N$$ $$E(\xi_1 + \ldots + \xi_N) =(\frac{1}{2} - \varepsilon)N$$ Применим неравенство Чебышёва: $$Pr\{\xi_1 + \ldots + \xi_N \ge E(\xi_1 + \ldots + \xi_N) + \varepsilon N\} \le \frac{D(\xi_1 + \ldots + \xi_N)}{(\varepsilon N)^2} \le \frac{N \cdot \frac{1}{4}}{(\varepsilon N)^2} = \frac{1}{4N\varepsilon^2}$$