**Определение 2.1.** Пусть $x \in \mathbb {R}, \varepsilon > 0$.

1.  $B_\varepsilon (x) = \{ y \in \mathbb {R}\colon |y - x| < \varepsilon \} $ — $\varepsilon $ *окрестность* точки $x$.

2.  $B_\varepsilon ^\circ (x) = B_\varepsilon ’(x) = B_\varepsilon (x) \backslash \{ x\}  = \{ y \in \mathbb {R}\colon 0 < |y - x| < \varepsilon \} $ — *проколотая* $\varepsilon $ *окрестность* точки $x$.

*Замечание.* В дальнейшем, говоря об $\varepsilon $-окрестности, будем считать, что $\varepsilon >0$.

По отношению к множеству $E$ любая точка является точкой одного из следующих типов.

**Определение 2.2.**

1.  Точка $x$ называется *внутренней точкой* $E \subset \mathbb {R}$, если $\exists \varepsilon >0\colon B_\varepsilon (x) \subset E$.

    $\mathop {\mathrm{int}} E$ — множество всех внутренних точек.

2.  Точка $x$ называется *внешней точкой* $E \subset \mathbb {R}$, если $\exists \varepsilon >0\colon B_\varepsilon (x) \subset \mathbb {R}\backslash E$.

    $\mathop {\mathrm{ext}} E$ — множество всех внешних точек.

3.  Точка $x$ называется *граничной точкой* $E \subset \mathbb {R}$, если $\forall \varepsilon >0\colon B_\varepsilon (x) \cap E \neq \varnothing $ и

    $B_\varepsilon (x) \cap \mathbb {R}\backslash E \neq \varnothing $.

    $\partial E$ — множество всех граничных точек.

*Замечание.* Из определения непосредственно вытекает, что $\mathop {\mathrm{ext}} E = \mathop {\mathrm{int}}(\mathbb {R}\backslash E)$, $\mathop {\mathrm{int}} E \subset E$.

**Определение 2.3.** Множество $E \subset \mathbb {R}$ называется *открытым*, если все его точки внутренние (т.е. $E \subset \mathop {\mathrm{int}} E$).

**Определение 2.4.** Множество $E \subset \mathbb {R}$ называется *замкнутым*, если $\mathbb {R}\backslash E$ — открыто.

**Теорема 2.1.**

1.  a) $G_\lambda , \lambda \in \Lambda $ — открытые множества $\Rightarrow \bigcup \limits _{\lambda \in \Lambda } G_\lambda $ — открытое множество.

    b)  $G_1, \ldots , G_ n$ — открытые множества $\Rightarrow \bigcap \limits _{k=1}^{\smash {n}} G_ k$ — открытое множество.

2.  a)  $F_\lambda , \lambda \in \Lambda $ — замкнутые множества $\Rightarrow \bigcap \limits _{\lambda \in \Lambda } F_\lambda $ — замкнутое множество.

    b)  $F_1, \ldots , F_ n$ — замкнутые множества $\Rightarrow \bigcup \limits _{k = 1}^{\smash {n}} F_ k$ — замкнутое множество.

<span>$\blacktriangle $ </span>1.а) $x \in \bigcup \limits _{\lambda \in \Lambda } G_\lambda \Rightarrow \exists \lambda _0\in \Lambda \colon x\in G_0$. $G_0$ — открыто $\Rightarrow \exists B_\varepsilon (x) \subset G_{\lambda _0} \subset \bigcup \limits _{\lambda \in \Lambda } G_\lambda $, т.е. $x$ — внутренняя точка $\bigcup \limits _{\lambda \in \Lambda } G_\lambda \Rightarrow \bigcup \limits _{\lambda \in \Lambda } G_\lambda $ — открытое.

1.б) $x \in \bigcap \limits _{k=1}^{\smash {n}} G_ k \Rightarrow x \in G_ k\  \forall k = 1, \ldots , n$. $G_ k$ — открыто $\Rightarrow \exists B_{\varepsilon _ k}(x) \subset G_ k, k = 1, \ldots , n$. Положим $\varepsilon = \min (\varepsilon _ k) \Rightarrow B_\varepsilon (x) \subset B_{\varepsilon _ k}(x) \subset G_ k, k=1, \ldots , n \Rightarrow $ $B_\varepsilon (x) \subset \bigcap \limits _{k=1}^{\smash {n}} G_ k$, т.е. $x$ — внутрення точка $\bigcap \limits _{k=1}^{\smash {n}} G_ k \Rightarrow $ $\bigcap \limits _{k=1}^{\smash {n}} G_ k$ — открыто.

2.а) $\mathbb {R}\backslash (\bigcap \limits _{\lambda \in \Lambda } F_\lambda ) = \bigcup \limits _{\lambda \in \Lambda } (\mathbb {R}\backslash F_\lambda )$ — открытое $\Rightarrow \bigcap \limits _{\lambda \in \Lambda } F_\lambda $ — замкнутое.

2.б) $\mathbb {R}\backslash (\bigcup \limits _{k=1}^ n F_ k) = \bigcap \limits _{k=1}^ n (\mathbb {R}\backslash F_ k)$ — открытое $\Rightarrow \bigcup \limits _{k=1}^ n F_ k$ — замкнутое. <span>$\blacksquare $</span>

*Замечание.* Пересечение произвольного числа открытых множеств и не быть открытым множеством.

*Пример:* $\bigcap \limits _{n=1}^\infty \left( -\frac1n, \frac1n \right) = \{ 0\} $.

**Определение 2.5.** Число элементов множества $A$ равно единице, если $\exists a\in A\colon A \backslash \{ a\}  = \varnothing $.

Пусть определено, что число элементов множества равно $n$, тогда по определению число элементов множества $A$ равно $n+1$, если $\exists a\in A\colon A\backslash \{ a\} $ имеет $n$ элементов.

**Определение 2.6.** Множество $A$ называют *конечным*, если либо $A = \varnothing $, либо $\exists n\in \mathbb {N}\colon A$ имеет $n$ элементов. В противном случае множество называется *бесконечным*.

**Определение 2.7.** Точка $x$ называется *предельной точкой* множества $E \subset \mathbb {R}$, если
$\forall \varepsilon > 0\colon B_\varepsilon ’ (x) \cap E \neq \varnothing $.

**Лемма 2.1.** $x$ — предельная точка множества $E$ $\Leftrightarrow $ $\forall \varepsilon >0\colon B_\varepsilon (x) \cap E$ — бесконечное множество.

<span>$\blacktriangle $ </span>$(\Rightarrow )$ Пусть точка $x$ — предельная точка $E$. $\forall \varepsilon >0\colon B_\varepsilon ’(x)\cap E$ — конечно $\Rightarrow $

$B_\varepsilon ’(x)\cap E = \{ x_1, \ldots , x_ n\} $. $\delta := \min \{ |x-x_ i|\}  > 0$. Рассмотрим $B_\delta ’(x)\cap E=\varnothing $.!!!

$(\Leftarrow )$ $\forall \varepsilon >0\colon B_\varepsilon (x)\cap E$ — бесконечное множество $\Rightarrow $ $B_\varepsilon ’(x)\cap E \neq \varnothing $. <span>$\blacksquare $</span>

**Теорема 2.2.** Следующие критерии замкнутости эквивалентны:

1.  $E$ — замкнуто.

2.  $E$ содержит все свои граничные точки.

3.  $E$ содержит все свои предельные точки.

<span>$\blacktriangle $ </span>($1\Rightarrow 2$) Пусть $x\in \mathbb {R}\backslash E \Rightarrow \exists B_\varepsilon (x)\subset \mathbb {R}\backslash E \Rightarrow $ $x\in \mathop {\mathrm{ext}} E \Rightarrow x\notin \partial E \Rightarrow $ $\partial E\subset E$.

($2\Rightarrow 3$) $x$ — предельная точка $E$ $\Rightarrow x\notin \mathop {\mathrm{ext}}\  E$. Тогда либо $x\in \mathop {\mathrm{int}}\  E \Rightarrow x\in E$, либо $x\in \partial E \Rightarrow $ $x\in E$.

($3\Rightarrow 1$) $x\in \mathbb {R}\backslash E \Rightarrow x$ — не предельная точка $E \Rightarrow $ $\exists \varepsilon >0\colon B_\varepsilon ’(x)\cap E = \varnothing \Rightarrow $ $B_\varepsilon (x)\cap E = \varnothing \Rightarrow $ $B_\varepsilon (x)\subset \mathbb {R}\backslash E \Rightarrow $ $\mathbb {R}\backslash E$ — открыто $\Rightarrow $ $E$ — замкнуто. <span>$\blacksquare $</span>

**Теорема 2.3.** Любое непустое замкнутое ограниченное сверху (или снизу) множество имеет максимальный (или минимальный) элемент.

<span>$\blacktriangle $ </span>Пусть $F$ — непустое замкнутое ограниченное сверху множество. $S = \sup F$. Покажем, что $S = \max F$, тогда осталось доказать, что $S \in F$. Т.к. $S = \sup F$, то $\forall \varepsilon > 0\  \exists x’ \in F\colon x’ \in (S-\varepsilon , S]$, т.е. $(S-\varepsilon , S] \cap F \not= \varnothing $.

Имеется две возможности:

1.  $\forall \varepsilon > 0\  (S - \varepsilon , S) \cap F \not= \varnothing \Rightarrow B_\varepsilon ’(S) \cap F \not= \varnothing \Rightarrow $ $S$ — предельная точка $F$ $\Rightarrow S \in F$ (по Т2).

2.  $\exists \varepsilon > 0\  (S - \varepsilon , S) \cap F = \varnothing \Rightarrow S \in F$. <span>$\blacksquare $</span>

**Определение 2.8.** 1) Система $\{ G_\lambda \colon \lambda \in \Lambda \} $ называется *покрытием* множества $E$, если
$\bigcup \limits _{\lambda \in \Lambda } G_\lambda \supset E$.

2) $\forall \lambda \in \Lambda \  G_\lambda $ — открытое, то покрытие $\{ G_\lambda \colon \lambda \in \Lambda \} $ называют *открытым*.

**Теорема 2.4 (Гейне Борель).** $\{ G_\lambda \colon \lambda \in \Lambda \} $ — открытое покрытие $[a, b] \Rightarrow $ $\exists \lambda _1, \ldots , \lambda _ n \in \Lambda ,$ $G_{\lambda _1} \cup \ldots \cup G_{\lambda _ n} \supset [a, b]$.

<span>$\blacktriangle $ </span>Предположим, что из открытого покрытия $\{ G_\lambda \colon \lambda \in \Lambda \} $ отрезка $[a, b]$, нельзя выбрать конечной подпоследовательности таких покрытий $[a, b]$.

Положим, $[a_1, b_1] = [a, b]$, поделим $[a_1, b_1]$ пополам. Тогда хотя бы один из $[a_1, \frac{a_1 + b_1}{2}]$, $[\frac{a_1 + b_1}{2}, b_1]$ нельзя покрыть конечным числом $G_\lambda $. Обозначим этот отрезок $[a_2, b_2]$, тогда хотя бы одну из его половин нельзя покрыть конечным числом $G_\lambda $, обозначим его за $[a_3, b_3]$.

Продолжим процесс $\{ [a_ n, b_ n]\} _{n=1}^\infty \colon $

1.  $\forall n\in \mathbb {N}\colon [a_ n, b_ n] \supset [a_{n+1}, b_{n+1}]$.

2.  Ни один из $[a_ n, b_ n]$ нельзя покрыть конечным числом $G_\lambda $.

3.  $\forall n \in N, b_ n - a_ n = \frac{b - a}{2^{n-1}}$, т.е $\{ [a_ n, b_ n]\} _{n=1}^\infty $ — стягивающаяся. По принципу вложенных отрезков $\exists c \in \bigcap \limits _{n=1}^\infty [a_ n, b_ n], c\in [a_1, b_1]\subset \bigcup \limits _{\lambda \in \Lambda } G_\lambda $, $c \in \bigcup \limits _{\lambda \in \Lambda } G_\lambda \Rightarrow $ $\exists \lambda _0 \in \Lambda \colon c \in G_{\lambda _0}$, но $G_{\lambda _0}$ — открытое множество $\Rightarrow \exists \varepsilon > 0\  B_\varepsilon (c) \subset G_{\lambda _0}$, т.к. $\{ [a_ n, b_ n]\} _{n=1}^\infty $ — стягивающаяся, то $\exists k \in N, b_ k - a_ k < \varepsilon $. Итак $c \in [a_ k, b_ k], b_ k-a_ k < \varepsilon \Rightarrow $ $[a_ k, b_ k] \subset B_\varepsilon (c) \Rightarrow $ $[a_ k, b_ k] \subset G_{\lambda _0}$, то есть $[a_ k, b_ k]$ — покрыт одним элементом $G_{\lambda _0}$ покрытия, получаем противоречие. <span>$\blacksquare $</span>

*Следствие*:

$F$ — замкнутое ограниченное множество. $\{ G_\lambda \colon \lambda \in \Lambda \} $ — открытое покрытие $F$ $\Rightarrow $
$\exists \lambda _1, \ldots , \lambda _ n \in \Lambda$, $G_{\lambda _1}\cup \ldots \cup G_{\lambda _ n} \supset F$.

<span>$\blacktriangle $ </span>$F$ — замкнутое множество $\Rightarrow \exists [m, M]\colon [m, M] \supset F$. Пусть $A = \{ G_\lambda \colon \lambda \in \Lambda \} $ — открытое покрытие $F$.

$A’ = \{ G_\lambda , \lambda \in \Lambda \}  \cup \{ \mathbb {R}\backslash F\} \colon \bigcup \limits _{\lambda \in \Lambda } G_\lambda \cup (\mathbb {R}\backslash F) \supset F \cup (\mathbb {R}\backslash F) \supset \mathbb {R}$.

По Т4. $\exists A” \subset A’$ — конечное покрытие $[m, M]$.

Имеется 2 возможности:

1. $\mathbb {R}\backslash F \not\in A” = \{ G_{\lambda _1}, \ldots , G_{\lambda _ n}\} , \bigcup \limits _{i=1}^ n G_{\lambda _ i} \supset [m, M] \supset F$

2. $\mathbb {R}\backslash F \in A” \Rightarrow A” \backslash \{ \mathbb {R}\backslash F\}  = \{ G_{\lambda _1}, \ldots , G_{\lambda _ n}\} . \bigcup \limits _{i=1}^ n G_{\lambda _ i} \supset [m, M] \backslash (\mathbb {R}\backslash F) = F$. <span>$\blacksquare $</span>

**Теорема 2.5 (О существовании предельной точки).** Любое бесконечное ограниченное множество имеет хотя бы одну предельную точку.

<span>$\blacktriangle $ </span>Пусть $E$ — бесконечное ограниченное множество. Приведем два различных доказательства.

*Доказательство 1*. От противного:

Предположим, $E$ не имеет предельной точки. $\varnothing \subset E \Rightarrow E$ — замкнутое множество.

Если $x \in E \Rightarrow x$ — не является предельной точкой для $E \Rightarrow \exists \varepsilon _ x > 0\colon B_{\varepsilon _ x}’(x) \cap E= \varnothing $, значит $B_{\varepsilon _ x}(x) \cap E = \{ x\} $.

Рассмотрим $\{ B_{\varepsilon _ x}(x)\colon x \in E\} $ — открытое покрытие $E \Rightarrow \exists x_1, \ldots , x_ n \in E\colon \bigcup \limits _{k=1}^ n B_{\varepsilon _{x_ k}}(x) \supset E$, но из каждого $B_{\varepsilon _{x_ k}}(x)$ только 1 точка содержится в $E$ $\Rightarrow $ $E$ — конечное. !!!

*Доказательство 2*.

$E$ — ограниченное множество $\Rightarrow $ $\exists [a_1, b_1] \supset E$. Разделим $[a_1, b_1]$ пополам, тогда хотя бы один из отрезков $[a_1, \frac{a_1 + b_1}{2}], [\frac{a_1 + b_1}{2}, b_1]$ содержит бесконечно много элементов из $E$, обозначим его за $[a_2, b_2]$, разделим $[a_2, b_2]$ пополам и обозначим через $[a_3, b_3]$ тот отрезок, в котором бесконечно много чисел из $E$. Будем продолжать и тогда получим $\{ [a_ n, b_ n]\} _{n=1}^\infty $.

1) $\forall n\in \mathbb {N}\colon [a_ n, b_ n] \supset [a_{n+1}, b_{n+1}]$.

2) $\forall n\in \mathbb {N}\colon [a_ n, b_ n] \cap E$ — бесконечное множество.

3) $\forall n \in \mathbb {N}, b_ n - a_ n = \frac{b - a}{2^{n-1}}$.

По принципу вложенных отрезков (Т1.4) $\exists c \in \bigcap \limits _{k=1}^\infty [a_ k, b_ k]$.

Покажем, что $c$ — предельная точка $E$, возьмем $\varepsilon > 0$. Т.к. $\{ [a_ n, b_ n]\} _{n=1}^\infty $ — стягивающаяся, то $\exists k\in \mathbb {N}, b_ n - a_ n < \varepsilon $.

Итак, $c \in [a_ k, b_ k], b_ k - a_ k < e \Rightarrow \lbrack a_ k, b_ k] \subset B_\varepsilon (c)$ $\stackrel{\mbox{П.2}}{\Rightarrow }$ $B_\varepsilon (c) \cap E$ — бесконечное множество $\stackrel{\mbox{Л.1}}{\Rightarrow }$ $c$ — предельная точка $E$. !!! <span>$\blacksquare $</span>