**Определение 3.5.** Число $a \in \mathbb {R}$ называют *пределом последовательности* $\{ a_ n\} $, если

$$\forall \varepsilon > 0\  \exists N_\varepsilon \in \mathbb {R}\  \forall n>N_\varepsilon \colon |a_ n-a| < \varepsilon .$$

Пишут $\lim \limits _{n\to \infty }a_ n = a$, или $a_ n \to a$ при $n\to \infty $, или $a_ n \to a$.

*Пример:* Покажем, что $\lim \limits _{n\to \infty }\frac1n = 0$.

<span>$\blacktriangle $ </span>Поскольку $\left|\frac1n - 0\right| < \varepsilon \Leftrightarrow \frac1n < \varepsilon $, то $\forall \varepsilon >0\  \exists N_\varepsilon = \frac1\varepsilon $, что $\forall n > N_\varepsilon \  n > \frac1\varepsilon $ или $\frac1n < \varepsilon $,

т.е. по определению $\lim \limits _{n\to \infty }\frac1n = 0$. <span>$\blacksquare $</span>

*Замечание.* $|a_ n - a| < \varepsilon \Leftrightarrow a - \varepsilon < a_ n < a + \varepsilon \Leftrightarrow a_ n \in B_\varepsilon (a)$ — $\varepsilon $-окрестности точки $a$.

В терминах окрестностей можно дать общее определение предела.

**Определение 3.6.** Точку $a \in \overline{\mathbb {R}}$ называют *пределом последовательности* $\{ a_ n\} $, если

$$\forall \varepsilon > 0\  \exists N_\varepsilon \in \mathbb {R}\  \forall n>N_\varepsilon \colon a_ n \in B_\varepsilon (a).$$

Геометрический смысл. (картинка)

Точка $a \in \overline{\mathbb {R}}$ предел $\{ a_ n\} $, если в любой $B_\varepsilon (a)$ содержатся почти все её члены (т.е. вне $B_\varepsilon (a)$ лежит конечное число членов $a_ n$).

*Замечание.* Обычно в учебниках число $N_\varepsilon $ предполагается натуральным. Это приводит к определению эквивалентному определению выше.

**Задача 1.** Доказать, что это приводит к определению, эквивалентному приведённому выше.

Приведём ещё один частный случай определения 3.6

**Определение 3.7.** $\lim \limits _{n\to \infty }a_ n = +\infty \  (-\infty ) \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\  \exists N_\varepsilon \in \mathbb {R}\  \forall n > N_\varepsilon \colon a_ n > \frac1\varepsilon \  \left(a_ n < -\frac1\varepsilon \right)$.

**Лемма 3.1.** Если $a, b \in \overline{\mathbb {R}}, a \neq b$, то $\exists \varepsilon > 0\colon B_\varepsilon (a) \cap B_\varepsilon (b) = \varnothing $. Более того, если $a < b$, то $\forall x \in B_\varepsilon (a), \forall y \in B_\varepsilon (b)\colon x < y$.

<span>$\blacktriangle $ </span>Возможно 4 случая:

1.  Если $a, b$ — числа, то полагаем $\varepsilon = \frac{|b-a|}{2}$.

2.  Если $a$ — число, $b = \pm \infty $, то полагаем $\varepsilon =\frac{1}{|a|+1}$.

3.  Если $b$ — число, $a = \pm \infty $, то полагаем $\varepsilon =\frac{1}{|b|+1}$.

4.  Если $a = \pm \infty $, $b = \mp \infty $, то полагаем $\varepsilon =1$. <span>$\blacksquare $</span>

**Теорема 3.1 (О единственности).** Если последовательность имеет предел в $\overline{\mathbb {R}}$, то он единственный.

<span>$\blacktriangle $ </span>Предположим обратное. Пусть $a, b \in \overline{\mathbb {R}}$ — пределы последовательности $\{ a_ n\} , a \not= b$. По Л3.1 $\exists \varepsilon > 0\colon B_\varepsilon (a) \cap B_\varepsilon (b) = \varnothing $. По определению предела:

$$\exists N_\varepsilon ' \in \mathbb {R}\,  \forall n > N_\varepsilon '\colon a_ n \in B_\varepsilon (a),$$

$$\exists N_\varepsilon '' \in \mathbb {R}\,  \forall n > N_\varepsilon ''\colon b_ n \in B_\varepsilon (b).$$

Возьмем $n > \max (N_\varepsilon ', N_\varepsilon '')$, тогда $a_ n \in B_\varepsilon (a) \cap B_\varepsilon (b)$ !!! <span>$\blacksquare $</span>

**Теорема 3.2 (Об отделимости).** Если $\exists \lim \limits _{n\to \infty }a_ n,\  \  b \not= \lim \limits _{n\to \infty }a_ n$, то

$$\exists \varepsilon > 0\  \exists N \in \mathbb {R}\,  \forall n > N \colon a_ n \not\in B_\varepsilon (b).$$

<span>$\blacktriangle $ </span>Пусть $a = \lim \limits _{n\to \infty }a_ n $. По Лемме 1 $\exists \varepsilon > 0\colon B_\varepsilon (a)\cap B_\varepsilon (b) = \varnothing $.

По определению предела $\exists N_\varepsilon \in \mathbb {R}\  \forall n > N_\varepsilon \colon a_ n \in B_\varepsilon (a)$.

Положим $N = N_\varepsilon $, тогда $\forall n > N\colon a_ n \not\in B_\varepsilon (b)$ (т.к. $B_\varepsilon (a) \cap B_\varepsilon (b) = \varnothing $). <span>$\blacksquare $</span>

**Определение 3.8.** Последовательность называется *сходящейся*, если она имеет конечный ($\in \mathbb {R}$) предел.

**Определение 3.9.** Если последовательность не является сходящейся, то она называется *расходящейся*.

**Теорема 3.3 (Об ограниченности).** Если последовательность $\{ a_ n\} $ сходится, то она ограничена.

<span>$\blacktriangle $ </span>$\exists a \in \mathbb {R}\colon a = \lim \limits _{n\to \infty }a_ n \Rightarrow $ для $\varepsilon = 1\,  \exists N_1 \in \mathbb {R}\,  \forall n > N_1\colon a_ n \in B_\varepsilon (a)$, т.е. $a-1 < a_ n < a+1$.

Положим $m = \min \{ a-1, a_ n, n \leqslant N_1\} $,$M = \max \{ a+1, a_ n, n \leqslant N_1\} $.

Тогда $\forall n \in \mathbb {N}\colon m \leqslant a_ n \leqslant M$. <span>$\blacksquare $</span>

**Теорема 3.4.** Существование и величина предела последовательности не зависит от конечного сдвига нумерации и значений конечного числа элементов последовательности.

<span>$\blacktriangle $ </span>1) Пусть нумерация $\{ a_ n\} $ сдвинута на $m \in \mathbb {Z}$. Рассмотрим $\{ b_ n\} $, где $b_ n = a_{n+m}$. Покажем, что:

1.а) если $\lim \limits _{n\to \infty }a_ n = a$, то $\lim \limits _{n\to \infty }b_ n = a$.

Действительно, если $\forall \varepsilon > 0\,  \exists N_\varepsilon \in \mathbb {R}\,  \forall n > N_\varepsilon \colon a_ n \in B_\varepsilon (a)$, то

$\forall n > (N_\varepsilon - m)\colon b_ n = a_{n+m} \in B_\varepsilon (a)$, т.е. $a = \lim \limits _{n\to \infty }b_ n$.

1.б) Если $\nexists \lim \limits _{n\to \infty }a_ n$, то $\nexists \lim \limits _{n\to \infty }b_ n$ (вытекает из пункта 1.а, поскольку $\{ a_ n\} $ получена из $\{ b_ n\} $ сдвигом нумерации на $-m$).

2) Пусть в последовательности $\{ a_ n\} $ изменили конечное число членов,

т.е. пусть $K = \{ n_1, \ldots , n_ k\}  \subset \mathbb {N}$ и

$$b_ n = \begin{cases}  a_ n, \mbox{если } n \notin K, \\\mbox{число, не равное } a_ n, \mbox{если } n \in K. \end{cases}$$

2.а) Если $\lim \limits _{n\to \infty }a_ n = a$, то $\lim \limits _{n\to \infty }b_ n = a$.

Действительно, если $\forall \varepsilon > 0\, \exists N_\varepsilon \in \mathbb {R}, \forall n > N_\varepsilon \colon a_ n \in B_\varepsilon (a)$, то $\forall n > \max (N_\varepsilon , M)$,

где $M = \max K\colon $ $b_ n = a_ n \in B_\varepsilon (a)$, т.е. $a = \lim \limits _{n\to \infty }b_ n$.

2.б) Аналогично, если $\nexists \lim \limits _{n\to \infty }a_ n$, то $\nexists \lim \limits _{n\to \infty }b_ n$.

**Определение 3.10.** Последовательностью, в которой не определенно конченое число членов, называют функцию $\mathbb {N}\backslash K \to \mathbb {R}$, где $K$ — конечное подмножество $\mathbb {N}$.

**Определение 3.11.** Пределом последовательности, в которой не определено конечное число членов, называют предел любой, совпадающей с ней на области определения (т.е. на множестве $\mathbb {N}\backslash K)$, последовательности.

*Замечание.* Корректность последнего определения 3.11 (независимость существования и величины предела от выбора подходящей последовательности) следует из предыдущей теоремы.

**Теорема 3.5 (О пределе в неравенствах).**

1.  Если $\forall n \in \mathbb {N}, n \geqslant n_0\colon a_ n \geqslant b_ n$ и $\lim \limits _{n\to \infty }a_ n = a, \lim \limits _{n\to \infty }b_ n = b\  (a, b \in \overline{\mathbb {R}})$, то $a \geqslant b$.

2.  Если $\lim \limits _{n\to \infty }a_ n = a, \lim \limits _{n\to \infty }b_ n = b\  (a, b \in \overline{\mathbb {R}})$ и $a > b$, то $\exists N_0 \in \mathbb {R}\  \forall n > N_0 \colon a_ n > b_ n$.

<span>$\blacktriangle $ </span>1) Предположим обратное: $a < b$. По Лемме 1 $\exists \varepsilon > 0\,  \forall x \in B_\varepsilon (a), \forall y \in B_\varepsilon (b)\colon x < y$.

По определению предела

$$\exists N_\varepsilon ' \in \mathbb {R}\,  \forall n > N_\varepsilon '\colon a_ n \in B_\varepsilon (a),$$

$$\exists N_\varepsilon '' \in \mathbb {R}\,  \forall n > N_\varepsilon ''\colon b_ n \in B_\varepsilon (b).$$

Тогда, взяв $n > \max \{ n_0, N_\varepsilon ', N_\varepsilon ''\} $, получим $a_ n < b_ n$, что противоречит условию.

2) По Лемме 1 $\exists \varepsilon > 0\,  \forall x \in B_\varepsilon (a), \forall y \in B_\varepsilon (b)\colon x > y$. По определению предела

$$\exists N_\varepsilon ' \in \mathbb {R}\,  \forall n > N_\varepsilon '\colon a_ n \in B_\varepsilon (a),$$

$$\exists N_\varepsilon '' \in \mathbb {R}\,  \forall n > N_\varepsilon ''\colon b_ n \in B_\varepsilon (b).$$

Тогда, положив $N_0 = \max \{ N_\varepsilon ', N_\varepsilon ''\} $, при $n > N_0$ имеем $a_ n > b_ n$. <span>$\blacksquare $</span>

**Теорема 3.6 (О зажатой последовательности).** Если $\forall n\in \mathbb {N}, n > n_0\colon x_ n \leqslant z_ n \leqslant y_ n$ и $\lim \limits _{n\to \infty }x_ n = \lim \limits _{n\to \infty }y_ n = a$, то $\lim \limits _{n\to \infty }z_ n = a$.

<span>$\blacktriangle $ </span>По условию:

$\forall \varepsilon > 0\  \exists N_\varepsilon ' \in \mathbb {R}\  \forall n > N_\varepsilon '\colon a-\varepsilon < x_ n < a + \varepsilon $.

$\forall \varepsilon > 0\  \exists N_\varepsilon '' \in \mathbb {R}\  \forall n > N_\varepsilon ''\colon a-\varepsilon < y_ n < a + \varepsilon $.

Тогда, взяв $N_\varepsilon = \max \{ n_0, N_\varepsilon ', N_\varepsilon ''\} , \forall n > N_\varepsilon $ имеем:

$$a - \varepsilon < x_ n \leqslant z_ n \leqslant y_ n < a + \varepsilon \Rightarrow a - \varepsilon < z_ n < a + \varepsilon ,$$

т.е. $\lim \limits _{n\to \infty }z_ n = a$. <span>$\blacksquare $</span>

**Теорема 3.7.** Пусть $\forall n \in \mathbb {N}, n \geqslant n_0\colon x_ n \leqslant y_ n$ Тогда:

1) Если $\lim \limits _{n\to \infty }x_ n = +\infty $, то $\lim \limits _{n\to \infty }y_ n = +\infty $.

2) Если $\lim \limits _{n\to \infty }y_ n = -\infty $, то $\lim \limits _{n\to \infty }x_ n = -\infty $.

<span>$\blacktriangle $ </span>Докажем пункт (1). По условию: $\forall \varepsilon > 0\  \exists N_\varepsilon ' \in \mathbb {R}\  \forall n > N_\varepsilon '\colon x_ n > \frac1\varepsilon $.

Тогда, взяв $N_\varepsilon = \min \{ n_0, N_\varepsilon '\} , \forall n > N_\varepsilon $ имеем $y_ n \geqslant x_ n > \frac1\varepsilon $, т.е. $y_ n \in B_\varepsilon (+\infty ) \Rightarrow \lim \limits _{n\to \infty }y_ n = +\infty $.

Доказательство пункта (2) аналогично. <span>$\blacksquare $</span>