**Определение 3.16.** Если $\{ a_ n\} $ числовая последовательность, $\{ n_ k\} $ — строго возрастающая последовательность натуральных чисел, то последовательность $\{ b_ k\} $, где $\forall k\in \mathbb {N}\colon b_ k = a_{n_ k}$, называют *подпоследовательностью* $\{ a_ n\} $. Обозначение. $\{ a_{n_ k}\} $

*Пример.* $\left\{ \frac{1}{2k}\right\} $ — подпоследовательность $\left\{ \frac1n\right\} $.

**Лемма 3.4.** Если последовательность имеет предел в $\overline{\mathbb {R}}$, то любая её подпоследовательность имеет тот же предел.

<span>$\blacktriangle $ </span>Пусть $\lim \limits _{n\to \infty }a_ n = a, \{ a_{n_ k}\} $ — подпоследовательность $\{ a_ n\} $.

1. Покажем, что $\forall k \in \mathbb {N}\colon n_ k \geqslant k$.

    ММИ: для $k=1\  n_1 \geqslant 1$ — верно. Пусть неравенство выполняется для любого $k$. Тогда оно выполняется и для $k+1$: $n_{k+1} > n_{k} \geqslant k \Rightarrow n_{k+1} \geqslant k+1$.

2. $\lim \limits _{n\to \infty }a_ n = a \Rightarrow \forall \varepsilon > 0\  \exists N_\varepsilon \in \mathbb {R}\  \forall n > N_\varepsilon \colon a_ n \in B_\varepsilon (a)$. Тогда $\forall k > N_\varepsilon \colon $ $n_ k > k > N_\varepsilon \Rightarrow $ $a_{n_ k} \in ~B_\varepsilon (a)$, т.е. $\lim \limits _{n\to \infty }a_{n_ k} = a$.

**Определение 3.17.** Точка $a\in \overline{\mathbb {R}}$ называется *частичным пределом* $\{ a_ n\} $, если $\exists \{ a_{n_ k}\} $ — подпоследовательность $\{ a_ n\} $, т.ч. $\lim \limits _{k\to \infty }a_{n_ k} = a$.

**Теорема 3.11 (Критерий частичного предела).** $a \in \overline{\mathbb {R}}$ — частичный предел $\{ a_ n\} $ $\Leftrightarrow  $
$ \forall \varepsilon > 0\  B_\varepsilon (a)$ содержит бесконечно много членов $a_ n$ (т.е. $\{ n \in \mathbb {N}\colon a_ n \in B_\varepsilon (a)\} $ — бесконечно).

<span>$\blacktriangle $ </span>($\Rightarrow $) Пусть $a$ — частичный предел $\{ a_ n\} $ $\Rightarrow $$\exists \{ a_{n_ k}\} $ — подпоследовательность $\{ a_ n\} $,
что $a = \lim \limits _{k\to \infty }\{ a_{n_ k}\} $. Тогда $\forall \varepsilon > 0\  \exists N\  \forall k > N\colon a_{n_ k} \in B_\varepsilon (a) \Rightarrow $ в $B_\varepsilon (a)$ содержится бесконечное число членов $\{ a_{n_ k}\} $, а следовательно, и самой последовательности $\{ a_ n\} $.

($\Leftarrow $) Пусть в любой окрестности $B_\varepsilon (a)$ точки $a \in \overline{\mathbb {R}}$ содержится бесконечное число членов $\{ a_{n}\} $. Выберем $n_1 \in \mathbb {N}\colon a_{n_1} \in B_1(a)$. Если уже выбраны $n_1, n_2, \ldots , n_ m \in \mathbb {N}\colon n_1 < n_2 < \ldots < n_ m$ и $a_{n_ k} \in B_{\frac1k}(a)\  (1 \leqslant k \leqslant m)$, то выберем $n_{m+1}$ так, что $n_{m+1} > n_ m$ и $a_{n_{m+1}} \in B_{\frac1{m+1}}(a)$. Так будет построена подпоследовательность $\{ a_{n_ k}\} $. Покажем, что $a = \lim \limits _{k\to \infty }a_{n_ k}$. Действительно, $\forall \varepsilon > 0\  \exists N = \frac1\varepsilon \  \forall k > N \colon a_{n_ k} \in B_{\frac1k}(a) \subset B_\varepsilon (a)$. <span>$\blacksquare $</span>

*Следствие.* $+\infty \  (-\infty )$ — частичный предел $\{ a_ n\}  \Leftrightarrow $ $\{ a_ n\} $ неограничена сверху (снизу).

<span>$\blacktriangle $ </span>Докажем для $+\infty $. Доказательство для $-\infty $ аналогично.

Если $+\infty $ не является частичным пределом $\{ a_ n\} $, то $\exists \varepsilon >0$, что $B_\varepsilon (+\infty )$ содержит лишь конечное число членов $a_ n$. Тогда $\forall n\in \mathbb {N}\colon $ $a_ n \leqslant \max \{ \frac1\varepsilon , a_ n\mbox{, где } a_ n\in B_\varepsilon (+\infty )\} $, т.е. $\{ a_ n\} $ ограничена сверху.

Если $\{ a_ n\} $ ограничена сверху, то $\exists M\in \mathbb {R}\colon a_ n\leqslant M$. Найдём $\varepsilon >0\colon \frac1\varepsilon >M$. Тогда в $B_\varepsilon (+\infty )$ нет членов $\{ a_ n\} $ и, значит, по Т3.11 $+\infty $ не является частичным пределом. <span>$\blacksquare $</span>

**Теорема 3.12.** Множество частичных пределов последовательности не пусто в $\overline{\mathbb {R}}$.

<span>$\blacktriangle $ </span>Пусть $L$ — множество частичных пределов последовательности $\{ a_ n\} $. Пусть

$E = \{ x \in \mathbb {R}\colon x = a_ n, n \in \mathbb {N}\} $ — множество значений $\{ a_ n\} $.

1.  $E$ — конечно $\Rightarrow \exists a \in E, \exists \{ n_ k\} $ — строго возрастающая последовательность натуральных чисел, что $a = a_{n_ k} \Rightarrow \lim \limits _{k\to \infty }a_{n_ k} = a \Rightarrow a\in L$.

2.  $E$ — бесконечно $\Rightarrow \exists a$ — предельная точка $E$ $\Rightarrow $  $\forall \varepsilon > 0\colon B_\varepsilon (a) \cap E$ — бесконечно $\Rightarrow $

    $\forall \varepsilon > 0\  \{ n \in \mathbb {N}\colon a_ n \in B_\varepsilon (a)\} $ — бесконечно $\Rightarrow a$ — частичный предел $\{ a_ n\} $, т.е. $a\in L$.

***Следствие* (Теорема Больцано-Вейерштрасса).** Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

<span>$\blacktriangle $ </span>По Теореме 3.12 множество частичных пределов последовательности непусто в $\overline{\mathbb {R}}$, но $\pm \infty $ по следствию из Т3.11 не является частичным пределом $\Rightarrow $  множество частичных пределов содержит действительное число. <span>$\blacksquare $</span>

**Теорема 3.13.** Множество частичных пределов в $\overline{\mathbb {R}}$  (и в $\mathbb {R}$) замкнуто.

<span>$\blacktriangle $ </span>Пусть $L$ — множество частичных пределов $\{ a_ n\} $. Покажем, что $\overline{\mathbb {R}}\backslash L\  (\mathbb {R}\backslash L)$ открыто.

Пусть $y \in \overline{\mathbb {R}}\backslash L \Rightarrow \exists B_\varepsilon (y)$, содержащая лишь конечное число членов $\{ a_ n\} $. Т.к. $B_\varepsilon (y)$ — открытое множество, то $\forall x \in B_\varepsilon (y)\  \exists B_\delta (x) \subset B_\varepsilon (y)$. Но тогда в $B_\delta (x)$ лишь конечное число членов $\{ a_ n\} $ $\Rightarrow x$ не является частичным пределом $\{ a_ n\}  \Rightarrow x \in \overline{\mathbb {R}}\backslash L\  (\mathbb {R}\backslash L) \Rightarrow B_\varepsilon (y) \subset \overline{\mathbb {R}}\backslash L\  (\mathbb {R}\backslash L) \Rightarrow  $

$ \overline{\mathbb {R}}\backslash L\  (\mathbb {R}\backslash L)$ открыто $\Rightarrow L$ — замкнуто. <span>$\blacksquare $</span>

*Следствие.* Множество частичных пределов последовательности имеет максимальный и минимальный элементы в $\overline{\mathbb {R}}$.

<span>$\blacktriangle $ </span>Пусть $L$ — множество частичных пределов $\{ a_ n\} $. По Т3.12 и Т3.13 множество $L$ непусто и замкнуто в $\overline{\mathbb {R}}$. Если $L$ ограничено, то по Т2.3 $L$ имеет максимальный и минимальный элементы. Если $L$ неограничено сверху (снизу), то сама последовательность $\{ a_ n\} $ не ограничена сверху (снизу) $\Rightarrow +\infty \  (-\infty ) \in L$ по следствию из Т3.11 $\Rightarrow $ $+\infty $ — максимальный элемент $L$ ($-\infty $ — минимальный элемент $L$). <span>$\blacksquare $</span>

**Определение 3.18.**

1.  *Верхний предел последовательности* $\{ a_ n\} $ — это наибольший из частичных пределов $\{ a_ n\} $ в $\overline{\mathbb {R}}$. Обозначение. $\varlimsup \limits _{n\to \infty }a_ n$.

2.  *Нижний предел последовательности* $\{ a_ n\} $ — это наименьший из частичных пределов $\{ a_ n\} $ в $\overline{\mathbb {R}}$. Обозначение. $\varliminf \limits _{n\to \infty }a_ n$.

**Теорема 3.14.** Справедливы равенства:

$$\varlimsup \limits _{n\to \infty }a_ n = \lim \limits _{n\to \infty }\sup \limits _{k\geqslant n} \{ a_ k\} , \quad \varliminf \limits _{n\to \infty }a_ n = \lim \limits _{n\to \infty }\inf \limits _{k\geqslant n} \{ a_ k\} .$$

<span>$\blacktriangle $ </span>Докажем первое равенство. Пусть $b_ n = \sup \limits _{k\geqslant n} \{ a_ k\} $ ($\{ b_ n\} $ — последовательность со значениями в $\overline{\mathbb {R}}$). Т.к. $\forall n \in \mathbb {N}\colon b_ n = \sup \limits _{k\geqslant n} \{ a_ k\}  \geqslant \sup \limits _{k\geqslant {n+1}} \{ a_ k\}  = b_{n+1}$ (вытекает из $(X \subset Y \Rightarrow \sup X \leqslant \sup Y)$), то $\{ b_ n\} $ нестрого убывает $\Rightarrow \exists S = \lim \limits _{n\to \infty }b_ n \in \overline{\mathbb {R}}$.

Возможно 3 случая:

1.  $S = +\infty \Rightarrow \forall n \in \mathbb {N}\colon b_ n = +\infty \Rightarrow b_1 = \sup \{ a_ n\}  = +\infty \Rightarrow \{ a_ n\} $ — неограниченно сверху $\Rightarrow $  $+\infty $ — частичный предел $\{ a_ n\}  \Rightarrow +\infty = \varlimsup \limits _{n\to \infty }a_ n$.

2.  $S = -\infty $. Поскольку $\forall n \in \mathbb {N}\colon a_ n \leqslant \sup \limits _{k\geqslant n} \{ a_ k\}  = b_ n \stackrel{\mbox{Т3.7}}{\Rightarrow } \lim \limits _{n\to \infty }a_ n = -\infty \Rightarrow $ множество частичных пределов $\{ a_ n\} $ состоит из $-\infty \Rightarrow \varlimsup \limits _{n\to \infty }a_ n = -\infty $.

3.  $S\in \mathbb {R}$. Тогда $\forall \varepsilon > 0\  \exists N\  \forall n > N\colon b_ n \in B_\varepsilon (S)$. Т.к. $\{ b_ n\} $ нестрого убывает, то $S = \inf \{ b_ n\}  \Rightarrow $ $\forall n > N\colon S \leqslant b_ n < S + \varepsilon $. По определению точной верней грани

    $\exists k \geqslant n\colon S-\varepsilon < a_ k \leqslant \sup \limits _{k\geqslant n} \{ a_ k\}  = b_ n < S + \varepsilon $. Итак, $\forall \varepsilon > 0\  \forall n \in \mathbb {N}\  \exists k \geqslant n\colon a_ k \in B_\varepsilon (S) \Rightarrow B_\varepsilon (S)$ содержит бесконечно много членов $\{ a_ n\}  \Rightarrow S$ — частичный предел $\{ a_ n\} $.

    С другой стороны, $\forall n > N\colon a_ n \leqslant \sup \limits _{k\geqslant n} \{ a_ k\}  = b_ n < S + \varepsilon \Rightarrow $ множество $A_\varepsilon = \{ x \in \mathbb {R}, x > S + \varepsilon \} $ содержит лишь конечное число членов $\{ a_ n\} $. Множество $A_\varepsilon $ открыто $\Rightarrow $

    $\forall y \in A_\varepsilon \  \exists B_\delta (y) \subset A_\varepsilon $ $\Rightarrow $ в $B_\delta (y)$ содержится лишь конечное число членов $\{ a_ n\}  \Rightarrow y$ не является частичным пределом $\{ a_ n\} $. Т.к. $\varepsilon > 0$ произвольно, то $\forall x > S\colon $ $x$ не является частичным пределом $\{ a_ n\} $.

    Следовательно, $S = \varlimsup \limits _{n\to \infty }a_ n$. <span>$\blacksquare $</span>

**Теорема 3.15.** $a = \lim \limits _{n\to \infty }a_ n \Leftrightarrow \varlimsup \limits _{n\to \infty }a_ n = \varliminf \limits _{n\to \infty }a_ n = a$.

<span>$\blacktriangle $ </span>($\Rightarrow $) Пусть $a = \lim \limits _{n\to \infty }a_ n$. Тогда по Л3.4 множество частичных пределов $\{ a_ n\} $ состоит только из $a \Rightarrow $ $\varlimsup \limits _{n\to \infty }a_ n = \varliminf \limits _{n\to \infty }a_ n = a$.

($\Leftarrow $) Если $\varlimsup \limits _{n\to \infty }a_ n = \varliminf \limits _{n\to \infty }a_ n = a$, то по Т3.14 имеем:

$\forall \varepsilon > 0\  \exists N_\varepsilon '\  \forall n > N_\varepsilon '\colon \sup \limits _{k\geqslant n} \{ a_ k\}  \in B_\varepsilon (a)$.

$\forall \varepsilon > 0\  \exists N_\varepsilon ''\  \forall n > N_\varepsilon ''\colon \inf \limits _{k\geqslant n} \{ a_ k\}  \in B_\varepsilon (a)$.

Положим $N_\varepsilon = \max \{ N_\varepsilon ', N_\varepsilon ''\} $. Тогда, учитывая $\inf \limits _{k\geqslant n} \{ a_ k\}  \leqslant a_ n \leqslant \sup \limits _{k\geqslant n} \{ a_ k\} $, имеем

$\forall \varepsilon > 0\  \forall n > N_\varepsilon \colon a_ n \in B_\varepsilon (a)$, т.е. $\lim \limits _{n\to \infty }a_ n = a$. <span>$\blacksquare $</span>