**Определение 3.19.** Последовательность $\{ a_ n\} $ называют *фундаментальной* (или последовательностью Коши), если

$$\forall \varepsilon > 0\  \exists N \in \mathbb {R}\  \forall n > N\  \forall m > N\colon |a_ n - a_ m| < \varepsilon .$$

**Теорема 3.16 (Критерий Коши).** $\{ a_ n\} $ сходится $\Leftrightarrow $ $\{ a_ n\} $ фундаментальна.

<span>$\blacktriangle $ </span>($\Rightarrow $) Если $\lim \limits _{n\to \infty }a_ n = a \in \mathbb {R}$, то $\forall \varepsilon > 0\  \exists N_\varepsilon \  \forall n > N_\varepsilon \colon |a_ n - a| < \frac\varepsilon 2$.

Тогда $\forall n > N_\varepsilon \  \forall m > N_\varepsilon $ имеем:

$$|a_ n - a_ m| = |(a_ n - a) - (a_ m - a)| \leqslant |a_ n - a| + |a_ m - a| < \frac\varepsilon 2 + \frac\varepsilon 2 = \varepsilon$$
и, значит, $\{ a_ n\} $ — фундаментальна.

($\Leftarrow $) Пусть $\{ a_ n\} $ фундаментальна. Покажем, что $\{ a_ n\} $ ограничена.

Для $\varepsilon = 1\  \exists N_1\  \forall n > N_1\  \forall m > N_1\colon |a_ n - a_ m| < 1$. Зафиксируем $l > N_1$, тогда $\forall n > N_1\colon $ $a_ l-1 < a_ n < a_ l+1$. Положим $\alpha = \min \{ a_ l-1, a_ n \mbox{ где } n \leqslant N_1\}$, $\beta = \max \{ a_ l+1, a_ n \mbox{ где } n \leqslant N_1\} $.

Тогда $\forall n \in \mathbb {N}\colon \alpha \leqslant a_ n \leqslant \beta $, т.е. $\{ a_ n\} $ — ограничена. По теореме Больцано-Вейерштрасса, существует частичный предел $\{ a_ n\} $. Обозначим его через $a$ и покажем, что $a = \lim \limits _{n\to \infty }a_ n$.

Т.к. $\{ a_ n\} $ — фундаментальна, то $\forall \varepsilon > 0\  \exists N\  \forall n > N\  \forall m > N\colon |a_ n - a_ m| < \frac\varepsilon 2$. Число $a$ — частичный предел $\{ a_ n\}  \stackrel{\mbox{T3.11}}{\Rightarrow }$ в $B_{\frac\varepsilon 2}(a)$ содержится бесконечно много членов $a_ n \Rightarrow \exists m > N\colon a_ m \in B_{\frac\varepsilon 2}(a)$. Но тогда

$$\forall n > N\colon |a_ n - a| \leqslant |a_ n - a_ m| + |a_ m - a| < \frac\varepsilon 2 + \frac\varepsilon 2 = \varepsilon$$
и, значит, $a = \lim \limits _{n\to \infty }a_ n$. <span>$\blacksquare $</span>

*Замечание.* При использовании критерия Коши не обязательно знать величину предела.