Напомним некоторые определения

**Определение 4.1.** *Функцией* $f\colon X \to Y$ называют отношение $f \subset X \times Y$, такое что $\forall x \in X\  \exists ! y \in Y\colon xfy$.

При этом $X$ — *множество (область) определения* функции $f$.

$Y_ f = \{ y \in Y\  \exists x \in X\colon xfy\}$ — *множество (область) значений* $f$.

Вместо $xfy$ пишут $f(x) = y$.

*Замечание.* Наряду с записью $f(x)$ будем использовать $f(x)|_{x=x_0}$ или $f(x)|_{x_0}$

**Определение 4.2.** *Графиком* функции $f\colon X \to Y$ называют $\{ (x, f(x))\colon x \in X\}  \subset X\times Y$.

**Определение 4.3.** Пусть $f\colon X \to Y, A \subset X, B \subset Y$, тогда по определению:

$f(A) = \{ f(x)\colon x \in A\}$ — *образ* множества $A$.

$f^{-1}(B) = \{ x \in X\colon f(x) \in B\}$ — *прообраз* множества $B$.

По определению $f^{-1}(y_0) = f^{-1}(\{ y_0\} )$ — *прообраз* элемента $y_0\in Y$.

*Замечание.* Из определения образа $f(X) = Y_ f$.

**Определение 4.4.** *Композицией* $f\colon X \to Y$ и $g\colon Y \to Z$ называют функцию $g \circ f\colon X \to Z$, $\forall x \in X\colon (g \circ f)(x) = g(f(x))$

**Определение 4.5.** Пусть $f\colon X \to Y, A \subset X$, тогда функцию $f|_ A\colon A \to Y$,

$\forall x \in A\colon (f|_ A)(x) = f(x)$ называют *сужением* функции $f$ на $A$.

Всюду в дальнейшем под функцией будет подразумеваться отображение из $E \subset \mathbb {R}$ в $\mathbb {R}$, то есть действительнозначная функция действительного аргумента.

**Определение 4.6.** Функция $f\colon E \to \mathbb {R}$ называется *ограниченной сверху (ограниченной снизу, ограниченной)*, если множество её значений $f(E)$ ограничено сверху (ограничено снизу, ограничено). Введём обозначения: $\sup \limits _ E f := \sup f(E), \inf \limits _ E f := \inf f(E)$.