**Определение 4.10.** Функция $f\colon E \to \mathbb {R}$ *имеет предел в точке* $a$, если $\exists b \in \overline{\mathbb {R}}\colon b = \lim \limits _{E \ni x \to a} f(x)$.

**Теорема 4.2 (о пределе по подмножеству).** Если $\lim \limits _{E \ni x \to a} f(x) = b, D \subset E, a$ — предельная точка $D$, то $\lim \limits _{D \ni x \to a} (f|_ D)(x) = b$.

<span>$\blacktriangle $ </span>Возьмем любую последовательность точек $x_ n \in D \backslash \{ a\} , x_ n\to a$, тогда
$f|_ D(x_ n) = f(x_ n) \to b \Rightarrow \lim \limits _{D\ni x\to a}(f|_ D)(x) = b$. <span>$\blacksquare $</span>

**Теорема 4.3 (о единственности предела).** Если $\lim \limits _{E \ni x \to a} f(x)$ существует, то он единственный.

<span>$\blacktriangle $ </span>Возьмем любую последовательность точек $x_ n \in D \backslash \{ a\} , x_ n\to a$, тогда $f(x_ n) \to \lim \limits _{E \ni x \to a}f(x)$. В силу единственности предела последовательности $\lim \limits _{E \ni x \to a} f(x)$ единственный. <span>$\blacksquare $</span>

*Пример:* Докажем, что $\nexists \lim \limits _{x\to 0} \sin \frac1x$.

<span>$\blacktriangle $ </span>
$\left.\begin{array}{l}  x_ n' = \frac1{\pi n} \to 0, f(x_ n') = \sin \pi n = 0 \\x_ n'' = \frac1{\frac\pi 2 + 2\pi n} \to 0, f(x_ n'') = \sin (\frac\pi 2 + 2\pi n) = 1 \end{array}\right\}$ $\Rightarrow \nexists \lim \limits _{x\to 0} \sin \frac1x$. <span>$\blacksquare $</span>

**Теорема 4.4 (об отделимости).** Если $\lim \limits _{E \ni x \to a} f(x) = b \not= c$, то $\exists \varepsilon > 0\  \exists \delta > 0\colon  $
$ f(B_\delta '(a) \cap E) \cap B_\varepsilon (c) = \varnothing $.

<span>$\blacktriangle $ </span>По Лемме 3.1 $\exists \varepsilon > 0\colon B_\varepsilon (b) \cap B_\varepsilon (c) = \varnothing $. Т.к. $b = \lim \limits _{E \ni x \to a} f(x) \Rightarrow \exists \delta >0\  \forall x \in B_\delta '(a) \cap E\colon  $

$ f(x) \in B_\varepsilon (b) \Rightarrow f(B_\delta '(a) \cap E) \subset B_\varepsilon (b) \Rightarrow f(B_\delta '(a) \cap E) \cap B_\varepsilon (c) = \varnothing $. <span>$\blacksquare $</span>

**Теорема 4.5 (об ограниченности).** Если $\lim \limits _{E \ni x \to a} f(x) \in \mathbb {R}$, то $\exists \delta > 0\colon f(B_\delta '(a) \cap E)$ — ограниченное множество.

<span>$\blacktriangle $ </span>Пусть $b = \lim \limits _{E \ni x \to a} f(x)$, тогда $\exists \delta >0\  \forall x \in B_\delta '(a) \cap E\colon f(x) \in B_1(b) \Rightarrow  $

$ f(B_\delta '(a) \cap E) \subset (b-1, b+1) \Rightarrow f(B_\delta '(a) \cap E)$ — ограниченное. <span>$\blacksquare $</span>

**Теорема 4.6 (о зажатой функции).** Пусть $f, g, h\colon E\to \mathbb {R}$. Тогда если
$\exists \Delta > 0\  \forall x \in B_\Delta '(a) \cap E\colon  $
$ f(x) \leqslant h(x) \leqslant g(x), \lim \limits _{E\ni x\to a} f(x) = \lim \limits _{E\ni x\to a} g(x) = b$, то $\exists \lim \limits _{E\ni x\to a} h(x) = b$.

<span>$\blacktriangle $ </span>Возьмём любую последовательность точек $x_ n \in E \backslash \{ a\} , x_ n \to a$, тогда
$\exists n_0\  \forall n \geqslant n_0\colon x_ n \in B_\Delta '(a)\cap E \Rightarrow \forall n \geqslant n_0\colon f(x_ n) \leqslant h(x_ n) \leqslant g(x_ n)$. По теореме о зажатой последовательности $h(x_ n)\to b$. По определению предела по Гейне $\lim \limits _{E\ni x\to a} h(x) = b$. <span>$\blacksquare $</span>

**Задача 1.** Доказать, что если $\exists \Delta > 0\  \forall x \in B_\Delta '(a)\cap E\colon f(x) \geqslant g(x), \lim \limits _{E\ni x\to a} f(x) = b$,
$\lim \limits _{E\ni x\to a} g(x) = c$, то $b \geqslant c$.

**Определение 4.11.** Функция $f\colon E \to \mathbb {R}$ называется *бесконечно малой при* $E \ni x\to a$, если $\lim \limits _{E\ni x\to a} f(x) = 0$. Пишут $f(x) = o(1)$ при $E\ni x \to a$.

**Определение 4.12.** Функция $f\colon E \to \mathbb {R}$ называется *ограниченной при* $E \ni x\to a$, если $\exists \delta >0\colon f(B_\delta '(a) \cap E)$ — ограниченное множество. Пишут $f(x) = O(1)$ при $E\ni x \to a$.

**Лемма 4.1.** $\lim \limits _{E\ni x\to a} f(x) = b \in \mathbb {R}\Leftrightarrow f(x) = b + o(1)$ при $E \ni x\to a$.

<span>$\blacktriangle $ </span>Возьмём любую последовательность точек $x_ n \in E \backslash \{ a\} , x_ n \to a$, тогда утверждение
$f(x_ n) \to b$ эквивалентно $f(x_ n) - b = o(1)$. Следовательно, по определению Гейне $\lim \limits _{E\ni x\to a} f(x) = b \Leftrightarrow $
$f(x) - b = o(1)$ при $E\ni x \to a$. <span>$\blacksquare $</span>

**Задача 2.** Доказать, что если $\alpha \colon E\to \mathbb {R}$ — бесконечно малая при $x\to a$, $\gamma \colon E\to \mathbb {R}$ — ограничена при $E\ni x \to a$, то $\alpha \gamma \colon E\to \mathbb {R}$ — бесконечно малая при $E\ni x \to a$.

**Теорема 4.7 (о пределе суммы, произведения, частного).**

Если $\lim \limits _{E\ni x\to a} f(x) = b, \lim \limits _{E\ni x\to a} g(x) = c$, то:

$\lim \limits _{E\ni x\to a} (f(x) \pm g(x)) = b\pm c$,
$\lim \limits _{E\ni x\to a} f(x) g(x) = b c$,

$c\neq 0$, тогда $\lim \limits _{E'\ni x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{b}c$ (под $E'$ подразумевается область определения $\frac{f}{g}$).

<span>$\blacktriangle $ </span>Возьмём любую последовательность точек $x_ n \in E \backslash \{ a\} , x_ n \to a$, тогда

$f(x_ n)\pm g(x_ n) \to b\pm c$,$f(x_ n)g(x_ n) \to bc$,$\frac{f(x_ n)}{g(x_ n)} \to \frac{b}c$.

По определению предела по Гейне $\lim \limits _{E\ni x\to a} (f(x) \pm g(x)) = b\pm c$, $\lim \limits _{E\ni x\to a} f(x) g(x) = b c$, $\lim \limits _{E'\ni x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{b}c$. <span>$\blacksquare $</span>