**Определение 1.1.** Непустое множество $\mathbb {R}$ называется множеством *действительных (вещественных) чисел*, если на нём заданы операции сложения ($+\colon \mathbb {R}\times \mathbb {R}\to \mathbb {R}$),
умножения ($\times \colon \mathbb {R}\times \mathbb {R}\to \mathbb {R}$) и отношения порядка, удовлетворяющее следующим аксиомам:

1.  $\forall a, b \in \mathbb {R}\colon a + b = b + a$.

2.  $\forall a, b \in \mathbb {R}\colon (a + b) + c = a + (b + c)$.

3.  $\exists 0 \in \mathbb {R}\  \forall a \in \mathbb {R}\colon a + 0 = a$.

4.  $\forall a\in \mathbb {R}\  \exists (-a) \in \mathbb {R}\colon a + (-a) = 0$.

5.  $\forall a, b\in \mathbb {R}\colon ab = ba$.

6.  $\forall a, b, c \in \mathbb {R}\colon (ab)c = a(bc)$.

7.  $\exists 1 \in \mathbb {R}\backslash \{ 0\} \  \forall a \in \mathbb {R}\colon a\cdot 1 = a$.

8.  $\forall a \in \mathbb {R}\backslash \{ 0\} \  \exists \frac1a \in \mathbb {R}\colon a \cdot \frac1a = 1$.

9.  $\forall a, b, c \in \mathbb {R}\colon (a + b)c = ac + bc$.

10. $\forall a, b \in \mathbb {R}\colon a \leqslant b \lor b \leqslant a$.

11. $\forall a, b \in \mathbb {R}\colon (a \leqslant b \land b \leqslant a) \Rightarrow a = b$.

12. $\forall a, b, c \in \mathbb {R}\colon (a \leqslant b \land b \leqslant c) \Rightarrow a \leqslant c$.

13. $\forall a, b, c \in \mathbb {R}\colon (a \leqslant b \Rightarrow a + c \leqslant b + c)$.

14. $\forall a, b, c \in \mathbb {R}, c \geqslant 0 \colon (a \leqslant b \Rightarrow ac \leqslant bc)$.

15. (Аксиома непрерывности) Пусть $A$ и $B$ такие непустые подмножества $\mathbb {R}$, что

    $\forall a \in A, b \in B\colon a\leqslant b$. Тогда $\exists c \in \mathbb {R}\  \forall a \in A, b \in B\colon a \leqslant c \leqslant b$.

*Замечание.* $a \leqslant b \Leftrightarrow b \geqslant a$. $a \leqslant b$ при $a \neq b \Leftrightarrow a < b$ или $b > a$.

*Некоторые следствия:*

1.  В $\mathbb {R}$ существует единственный $0$.

    <span>$\blacktriangle $  </span>Пусть $\exists 0_1, 0_2$. Тогда $0_1 = 0_1 + 0_2 = 0_2$. <span>$\blacksquare $</span>

2.  $\forall a \in \mathbb {R}\colon a\cdot 0 = 0$.

    <span>$\blacktriangle $  </span>$a0 = a(0 + 0) = a0 + a0$.

    $a0 - a0 = a0 + (a0 - a0)$.

    $0 = a0$. <span>$\blacksquare $</span>

3.  $\forall a\in \mathbb {R}\colon (-1)(-a) = a$.

    <span>$\blacktriangle $  </span>$(-1)(-a) = -(-a)$.

    $(-a) - (-a) = 0$.

    $-a + a = 0 \Rightarrow a = -(-a)$. <span>$\blacksquare $</span>

4.  $0 < 1$.

    <span>$\blacktriangle $  </span>Пусть $0 \geqslant 1 \Rightarrow (-1) + 0 \geqslant 1 + (-1) \Rightarrow -1 \geqslant 0 \Rightarrow (-1)(-1) \geqslant 0(-1) \Leftrightarrow 1 \geqslant 0$ !!! <span>$\blacksquare $</span>