**Определение 1.6.** Число $ M \in \mathbb {R}$ называют *верхней гранью* $E \subset \mathbb {R}$, если $\forall x \in E\colon x \leqslant M$.

**Определение 1.7.** Число $m \in \mathbb {R}$ называют *нижней гранью* $E \subset \mathbb {R}$, если $\forall x \in E\colon x \geqslant m$.

**Определение 1.8.** Множество $E$ *ограничено сверху (снизу)*, если $E$ имеет хотя бы одну верхнюю (нижнюю) грань.

**Определение 1.9.** Ограниченное сверху и снизу множество называют *ограниченным*.

**Задача 1.** Доказать, что $E\subset \mathbb {R}$ — ограничено $\Leftrightarrow $ $\exists K>0\  \forall x \in E\colon |x| \leqslant K$.

**Определение 1.10.** Число $M \in \mathbb {R}$ называют *точной верхней гранью* $E \subset \mathbb {R}$, если

1.  $\forall x \in E\colon x \leqslant M$ (верхняя грань).

2.  $\forall M’ < M\  \exists x’ \in E\colon x’ > M’$.

Обозначение: $M = \sup E$.

**Определение 1.11.** Число $m \in \mathbb {R}$ называют *точной нижней гранью* $E \subset \mathbb {R}$, если

1.  $\forall x \in E\colon x \geqslant m$.

2.  $\forall m’ > m\  \exists x’ \in E\colon x’ < m’$.

Обозначение: $m = \inf E$.

**Теорема 1.3 (Принцип полноты Вейерштрасса).** Любое ограниченное сверху (снизу) непустое числовое множество имеет единственную точную верхнюю (нижнюю) грань.

<span>$\blacktriangle $ </span>Пусть $A$ — непустое ограниченное сверху множество, $B = \{ x\in \mathbb {R}\mbox{, где $x$ — верхняя грань $A$}\} $. Тогда $\forall a \in A, b \in B\colon a \leqslant b$. По аксиоме непрерывности $\exists c\in \mathbb {R}\  \forall a\in A, b\in B\colon a \leqslant c \leqslant b$ $(*)$. Покажем, что $c=\sup A$.

По $(*)$ $\forall a\in A\colon a\leqslant c$, т.е. первое условие определения точной верхней грани выполнено. Пусть $c’ < c$. Тогда $c’ < c \leqslant b$ по $(*)$ $\Rightarrow c’ \notin B$, т.е. $c’$ — не верхняя грань $A \Rightarrow $ $\exists x’ \in A\colon x’ > c’$, так что второе условие определения точной верхней грани выполнено.

Предположим $c_1, c_2 \in \mathbb {R}, c_1\neq c_2$ удовлетворяют определению $\sup A$. Пусть $c_1 < c_2$. По определению $c_2 = \sup A$ имеем $\exists x’\in A\colon x’ > c_1$, что противоречит $c_1 = \sup A$ !!! <span>$\blacksquare $</span>