6.1. Производная и дифференциал

Определение 6.1. Пусть $f\colon E\to \mathbb {R}$ определена в некоторой $\delta $ окрестности точки $x_0$, т.е. $B_\delta (x) \subset E$, тогда величина $\Delta = x - x_0$ называется приращением аргумента. $\Delta f = f(x) - f(x_0)$ — приращение функции.

Определение 6.2. Функция $f\colon E\to \mathbb {R}$ имеет производную в точке $x_0$, если $x_0$ — внутренняя точка множества $E$ и

$$\exists \lim \limits _{x\to x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} = \lim \limits _{\Delta x\to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} \in \overline{\mathbb {R}}.$$

Этот предел называют производной функции $f$ в точке $x_0$ и обозначают $f'(x_0), \frac{df(x_0)}{dx_0}, \frac{d}{dx}f(x_0)$.

Пример: Пусть $f\colon \mathbb {R}\to \mathbb {R}, f(x) = c$, тогда $f'(x_0) = \lim \limits _{\Delta x\to 0} \frac{c-c}{\Delta x} = 0$.

Пусть $f\colon \mathbb {R}\to \mathbb {R}, f(x) = x$, тогда $f'(x_0) = \lim \limits _{\Delta x\to 0} \frac{(x + \Delta x) - x}{\Delta x} = 1$.

Определение 6.3. Пусть $f\colon E\to \mathbb {R}$ определена на $[x_0, x_0 + \delta )$ ($(x_0 - \delta , x_0]$), тогда $f(x)$ имеет правую (левую) производную в точке $x_0$, если

$$\exists \lim \limits _{\scriptscriptstyle x\to x_0 + 0} \frac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_0} = \lim \limits _{\scriptscriptstyle \Delta x\to +0} \frac{\Delta f}{\Delta x} \in \overline{\mathbb {R}}\quad \left(\exists \lim \limits _{\scriptscriptstyle x\to x_0 - 0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim \limits _{\scriptscriptstyle \Delta x\to -0} \frac{\Delta f}{\Delta x} \in \overline{\mathbb {R}}\right).$$

Этот предел называют правой (левой) производной функции $f$ в точке $x_0$ и обозначают $f_{+}' (x_0)$ ($f_{-}' (x_0)$).

Утверждение, что функция $f$ имеет производную в точке $x_0$ эквивалентно утверждению, что $f$ в $x_0$ имеет равные левую и правую производные, при этом $f'(x_0) = f_{+}' (x_0) = f_{-}' (x_0)$ (по лемме об односторонних пределах).

Определение 6.4. Если говорят о производной функции $f\colon [a, b] \to \mathbb {R}$, то под ней понимают в точке $a$ правую производную, в точке $b$ левую производную, в остальных точках — просто производную функции $f$.

Пример: Пусть $f\colon \mathbb {R}\to \mathbb {R}, f(x) = |x|$. Тогда

$\left.\begin{array}{l} f'_+(x) = \lim \limits _{\Delta x\to +0} \frac{|\Delta x|}{\Delta x} = \lim \limits _{\Delta x \to +0} \frac{\Delta x}{\Delta x} = 1. \\f'_-(x) = \lim \limits _{\Delta x\to -0} \frac{|\Delta x|}{\Delta x} = \lim \limits _{\Delta x \to -0} \frac{-\Delta x}{\Delta x} = -1. \end{array}\right\}\Rightarrow \nexists f'(0)$.

Определение 6.5. Функция $f\colon E\to \mathbb {R}$ называется дифференцируемой в точке $x_0$, если $x_0$ — внутренняя точка множества $E$ и её приращение $\Delta f$ в этой точке представляется в виде:

$$\Delta f = A \Delta x + o(\Delta x)\mbox{ при }\Delta x\to 0, A\in \mathbb {R}.$$

Линейная функция $\Delta x \mapsto A\Delta x, \Delta x \in \mathbb {R}$, называется дифференциалом функции $f$ в точке $x_0$ и обозначается $df(x_0)$.

Теорема 6.1. Функция $f$ дифференцируема в точке $x_0$ $\Leftrightarrow $ $\exists f'(x_0) \in \mathbb {R}$. При этом $A = f'(x_0)$, т.е. $df(x_0) = f'(x_0) \Delta x$.

$\blacktriangle $ ($\Rightarrow $) Если $f$ дифференцируема в точке $x_0$, то $\Delta f = A \Delta x + o(\Delta x)$ при $\Delta x\to 0$, и, значит, $\frac{\Delta f}{\Delta x} = A + o(1)$ при $\Delta x \to 0$. Следовательно, $\exists \lim \limits _{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = A = f'(x_0)$.

($\Leftarrow $) Если $\exists f'(x_0) \in \mathbb {R}$, то $\frac{\Delta f}{\Delta x} = f'(x_0) + o(1)$ при $\Delta x\to 0$ и, значит, $\Delta f = f'(x_0) \Delta x + o(\Delta x)$ при $\Delta x\to 0$, т.е. $f$ дифференцируема в точке $x_0$.

Замечание. Вместо $\Delta x$ часто будем использовать обозначение $dx$. При таком обозначении $df(x_0) = f'(x_0) dx$.

Теорема 6.2. Если $f$ дифференцируема в точке $x_0$, то $f$ непрерывна в точке $x_0$.

$\blacktriangle $ Если $f$ дифференцируема в точке $x_0$, то $\Delta f$ = $f'(x_0) \Delta x + o(\Delta x)$ при $\Delta x\to 0$ или

$f(x) = f(x_0) + (f'(x_0) + o(1))(x - x_0)$ при $x\to x_0$.

Следовательно, $\lim \limits _{x\to x_0} f(x) = f(x_0)$, т.е. $f$ непрерывна в точке $x_0$. $\blacksquare $

Задача 1. Пусть $f$ дифференцируема в точке $x_0$. Верно ли, что $f$ непрерывна в некоторой окрестности точки $x_0$?