6.1. Производная и дифференциал
Определение 6.1. Пусть f:E→R определена в некоторой δ окрестности точки x0, т.е. Bδ(x)⊂E, тогда величина Δ=x−x0 называется приращением аргумента. Δf=f(x)−f(x0) — приращение функции.
Определение 6.2. Функция f:E→R имеет производную в точке x0, если x0 — внутренняя точка множества E и
∃lim
Этот предел называют производной функции f в точке x_0 и обозначают f'(x_0), \frac{df(x_0)}{dx_0}, \frac{d}{dx}f(x_0).
Пример: Пусть f\colon \mathbb {R}\to \mathbb {R}, f(x) = c, тогда f'(x_0) = \lim \limits _{\Delta x\to 0} \frac{c-c}{\Delta x} = 0.
Пусть f\colon \mathbb {R}\to \mathbb {R}, f(x) = x, тогда f'(x_0) = \lim \limits _{\Delta x\to 0} \frac{(x + \Delta x) - x}{\Delta x} = 1.
Определение 6.3. Пусть f\colon E\to \mathbb {R} определена на [x_0, x_0 + \delta ) ((x_0 - \delta , x_0]), тогда f(x) имеет правую (левую) производную в точке x_0, если
\exists \lim \limits _{\scriptscriptstyle x\to x_0 + 0} \frac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_0} = \lim \limits _{\scriptscriptstyle \Delta x\to +0} \frac{\Delta f}{\Delta x} \in \overline{\mathbb {R}}\quad \left(\exists \lim \limits _{\scriptscriptstyle x\to x_0 - 0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim \limits _{\scriptscriptstyle \Delta x\to -0} \frac{\Delta f}{\Delta x} \in \overline{\mathbb {R}}\right).
Этот предел называют правой (левой) производной функции f в точке x_0 и обозначают f_{+}' (x_0) (f_{-}' (x_0)).
Утверждение, что функция f имеет производную в точке x_0 эквивалентно утверждению, что f в x_0 имеет равные левую и правую производные, при этом f'(x_0) = f_{+}' (x_0) = f_{-}' (x_0) (по лемме об односторонних пределах).
Определение 6.4. Если говорят о производной функции f\colon [a, b] \to \mathbb {R}, то под ней понимают в точке a правую производную, в точке b левую производную, в остальных точках — просто производную функции f.
Пример: Пусть f\colon \mathbb {R}\to \mathbb {R}, f(x) = |x|. Тогда
\left.\begin{array}{l} f'_+(x) = \lim \limits _{\Delta x\to +0} \frac{|\Delta x|}{\Delta x} = \lim \limits _{\Delta x \to +0} \frac{\Delta x}{\Delta x} = 1. \\f'_-(x) = \lim \limits _{\Delta x\to -0} \frac{|\Delta x|}{\Delta x} = \lim \limits _{\Delta x \to -0} \frac{-\Delta x}{\Delta x} = -1. \end{array}\right\}\Rightarrow \nexists f'(0).
Определение 6.5. Функция f\colon E\to \mathbb {R} называется дифференцируемой в точке x_0, если x_0 — внутренняя точка множества E и её приращение \Delta f в этой точке представляется в виде:
\Delta f = A \Delta x + o(\Delta x)\mbox{ при }\Delta x\to 0, A\in \mathbb {R}.
Линейная функция \Delta x \mapsto A\Delta x, \Delta x \in \mathbb {R}, называется дифференциалом функции f в точке x_0 и обозначается df(x_0).
Теорема 6.1. Функция f дифференцируема в точке x_0 \Leftrightarrow \exists f'(x_0) \in \mathbb {R}. При этом A = f'(x_0), т.е. df(x_0) = f'(x_0) \Delta x.
\blacktriangle (\Rightarrow ) Если f дифференцируема в точке x_0, то \Delta f = A \Delta x + o(\Delta x) при \Delta x\to 0, и, значит, \frac{\Delta f}{\Delta x} = A + o(1) при \Delta x \to 0. Следовательно, \exists \lim \limits _{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = A = f'(x_0).
(\Leftarrow ) Если \exists f'(x_0) \in \mathbb {R}, то \frac{\Delta f}{\Delta x} = f'(x_0) + o(1) при \Delta x\to 0 и, значит, \Delta f = f'(x_0) \Delta x + o(\Delta x) при \Delta x\to 0, т.е. f дифференцируема в точке x_0.
Замечание. Вместо \Delta x часто будем использовать обозначение dx. При таком обозначении df(x_0) = f'(x_0) dx.
Теорема 6.2. Если f дифференцируема в точке x_0, то f непрерывна в точке x_0.
\blacktriangle Если f дифференцируема в точке x_0, то \Delta f = f'(x_0) \Delta x + o(\Delta x) при \Delta x\to 0 или
f(x) = f(x_0) + (f'(x_0) + o(1))(x - x_0) при x\to x_0.
Следовательно, \lim \limits _{x\to x_0} f(x) = f(x_0), т.е. f непрерывна в точке x_0. \blacksquare
Задача 1. Пусть f дифференцируема в точке x_0. Верно ли, что f непрерывна в некоторой окрестности точки x_0?