6.5. Производные и дифференциалы высших порядков

Производные высших порядков определяются индукцией по порядку.

Определение 6.8. Положим $f^{0} := f$, $f^{(1)} := f'$.

Если $(n-1)$-я производная $f^{(n-1)}$ функции $f$ определена в некоторой $\delta $-окрестности точки $x_0$ и существует $(f^{(n-1)})'(x_0)$, то эту производную называют $n$-й производной функции в точке $x_0$. Обозначают: $f^{(n)}(x_0), \frac{d^ nf}{dx^ n}(x_0)$.

Примеры: $(a^\alpha )^{(n)} = a^\alpha \ln ^ n a$.

$(x\alpha )^{(n)} = \alpha (\alpha - 1)\cdot \ldots \cdot (\alpha -n+1)x^{\alpha -n}$.

$(\sin x)^{(n)} = \sin (x + \frac\pi 2 n)$.

$(\cos x)^{(n)} = \cos (x + \frac\pi 2 n)$.

$(\ln x)^{(n)} = (\frac1x)^{(n-1)} = \frac{(-1)^ n(n-1)!}{x^ n}$.

Определение 6.9. Функцию, имеющую в точке $x$ (на множестве $E$) конечные производные до порядка $n$ включительно называет $n$ раз дифференцируемой в точке $x$ (на множестве $E$).

Определение 6.10. Функцию, имеющую в точке $x$ (на множестве $E$) конечные производные всех порядков называют бесконечно дифференцируемой в точке $x$ (на множестве $E$).

Замечание. Из правил дифференцирования следует, что если функции $f$ и $g$ имеют в точке $x$ конечные $n$-ые производные $f^{(n)}(x)$ и $g^{(n)}(x)$, то функции $cf\ (c\in \mathbb {R})$, $f\pm g$ так же имеют в точке $x$ конечные $n$-ые производные и справедливы формулы:

$(cf)^{(n)}(x) = c(f^{(n)})(x)$.

$(f \pm g)^{(n)}(x) = f^{(n)}(x) \pm g^{(n)}(x)$.

Теорема 6.9 (формула Лейбница). Если $\exists f^{(n)}(x)\in \mathbb {R}$ и $\exists g^{(n)}(x)\in \mathbb {R}$, то $\exists (fg)^{(n)}(x)\in \mathbb {R}$,

$$(fg)^{(n)} = \sum \limits _{k=0}^ n C_ n^ k f^{(k)}(x) g^{(n-k)}(x).$$

$\blacktriangle $ Докажем ММИ по $n$.

При $n = 1$ верно по правилам дифференцирования.

Пусть утверждение верно для $n = m$. Покажем, что оно верно для $n = m + 1$.

$(fg)^{(m+1)}(x) = ((fg)^{(n)})'(x) = (\sum \limits _{k=0}^ m C_ m^ k f^{(k)}(x) g^{(m-k)}(x))' =$

$=\sum \limits _{k=0}^ m C_ m^ k f^{(k+1)}(x) g^{(m-k)}(x) + \sum \limits _{k=0}^ m C_ m^ k f^{(k)}(x) g^{(m + 1-k)}(x) =$

$=\sum \limits _{k=1}^{m+1} C_ m^{k-1} f^{(k)}(x) g^{(m-(k-1))}(x) + \sum \limits _{k=0}^ m C_ m^ k f^{(k)}(x) g^{(m + 1-k)}(x) =$

$=C_ m^0 f^{(0)}(x)g^{(m+1)}(x) + \sum \limits _{k=1}^ m (C_ m^{k-1} + C_ m^ k) f^{(k)} g^{(m+1-k)} + C_ m^ m f^{(m+1)}(x) g^{(0)}(x) =$

$=C_{m+1}^0 f^{(0)}(x)g^{(m+1)}(x) + \sum \limits _{k=1}^ m C_{m+1}^ k f^{(k)}(x)g^{(m+1-k)}(x) + C_{m+1}^{m+1} f^{(m+1)}(x)g^{(0)}(x) =$

$=\sum _{k=0}^{m+1} C_{m+1}^ k f^{(k)}(x) g^{(m+1-k)}(x)$. $\blacksquare $

Пример: Найти $(x^2 e^{5x})^{(n)}$.

$(x^2 e^{5x})^{(n)} = C_ n^0 x^2 (e^{5x})^{(n)} + C_ n^1 (x^2)' (e^{5x})^{(n-1)} + C_ n^2 (x^2)''(e^{5x})^{(n-2)} + 0 + \ldots + 0 =$

$= x^2 5^ n e^{5x} + n 2x 5^{n-1} e^{5x} + \frac{n(n-1)}{2} 2 5^{n-2} e^{5x} = 5^{n-2} e^{5x} (25 x^2 + 10nx + n(n-1))$ (предполагалось $n > 2$, справедливость формулы при $n=0,1,2$ проверяется непосредственно).

Определение 6.11. Если первый дифференциал $df(x) = f'(x)dx$ функции $f$ дифференцируем в точке $x_0$ (как функция от $x$) при постоянном $dx$ (т.е. $f'$ дифференцируема в точке $x_0$), то выражение, являющееся дифференциалом от $df$ с новым приращением $\delta x = dx$, называется вторым дифференциалом функции $f$ в точке $x_0$ и обозначается $d^2f(x_0)$.

Из определения вытекает: $d^2f(x_0) = d(df(x))|_{x=x_0} = d(f'(x)dx)|_{x=x_0} = (f''(x)\delta x)dx |_{x=x_0, \delta x = dx} =$ $f''(x_0) dx dx = f''(x_0) dx^2$.

Определение 6.12. Если $(n-1)$-й дифференциал $d^{n-1} f(x) = f^{(n-1)}(x)dx^{n-1}$ функции $f$ дифференцируем (как функция от $x$) в точке $x_0$ при постоянном $dx$, то выражение, являющееся дифференциалом от $d^{n-1}f$ с новым приращением $\delta x = dx$, называется $n$-м дифференциалом функции $f$ точке $x_0$ и обозначается $d^ n f(x_0)$. Убеждаемся, что $d^ n f(x_0) = f^{(n)}dx^ n$.