8.1. Условия монотонности функции

Теорема 8.1. Пусть $f\colon E\to \mathbb {R}$ дифференцируема на промежутке $I \subset E$. Тогда

1. $f$ нестрого возрастает (убывает) на $I$ $\Leftrightarrow$ $f' \geqslant 0$ ($f' \leqslant 0$) на $I$.

2. Если $f' > 0$ ($f' < 0$) на $I$, то $f$ строго возрастает (строго убывает) на $I$.

$\blacktriangle$ Докажем (1).

($\Rightarrow$) Пусть $f$ нестрого возрастает на $I, x_0 \in I$. Тогда для $\Delta f$ в $x_0$ выполнено:

$\Delta f \geqslant 0$ при $\Delta x>0$ и $\Delta f \leqslant 0$ при $\Delta x<0$, и значит, $f'(x_0) = \lim \limits _{\Delta x\to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} \geqslant 0$ (если $x_0$ — концевая точка промежутка $I$, то рассматривается односторонние производная и предел).

($\Leftarrow$) Пусть $x, x' \in I, x < x'$. Тогда по Т. Лагранжа о среднем $\Delta f = f(x') - f(x) = f'(c)\Delta x$, где $c\in (x,x')$, $\Delta x = x' - x > 0$.

Если всегда $f'(c) \geqslant 0$, то $\Delta f \geqslant 0 \Rightarrow$ $f$ нестрого возрастает на $I$.

Если всегда $f'(c) > 0$, то $\Delta f > 0 \Rightarrow$ $f$ строго возрастает на $I$, что доказывает (2).

Оставшиеся утверждения доказываются аналогично. $\blacksquare$

Замечание. Т.к. при переходе к пределу строгие неравенства могут переходить в нестрогие, то нельзя утверждать, что если $f$ строго возрастает на $I$, то $f' > 0$ на $I$ (например, $f(x) = x^3$ строго возрастает на $\mathbb {R}$, но $f'(0) = 0$).

Определение 8.1. 1) Функция $f\colon E\to \mathbb {R}$ строго (нестрого) возрастает в точке $x_0$, если $x_0$ — внутрення точка $E$ и $\exists \delta >0$, что $f(x) > f(x_0)$ ($f(x) \geqslant f(x_0)$) при $x \in (x, x_0+\delta )$ и $f(x) < f(x_0)$ ($f(x) \leqslant f(x_0)$) при $x \in (x-\delta , x_0)$ (т.е. $\frac{\Delta f}{\Delta x} > 0\ (\geqslant 0)$ при $0 < |\Delta x| < \delta$).

2) Функция $f\colon E\to \mathbb {R}$ строго (нестрого) убывает в точке $x_0$, если $x_0$ — внутрення точка $E$ и $\exists \delta >0$, что $f(x) < f(x_0)$ ($f(x) \leqslant f(x_0)$) при $x \in (x, x_0+\delta )$ и $f(x) > f(x_0)$ ($f(x) \geqslant f(x_0)$) при $x \in (x-\delta , x_0)$. (т.е. $\frac{\Delta f}{\Delta x} < 0\ (\leqslant 0)$ при $0 < |\Delta x| < \delta$).

Задача 1. Показать, что функция $f\colon \mathbb {R}\to \mathbb {R}$,

$f(x) = \begin{cases} x + x^2\sin \frac1{x^2}, x \neq 0, \\x = 0, \end{cases}$

строго возрастает в точке $x_0 = 0$, но не является возрастающей (даже в нестрогом смысле) ни в какой окрестности $x_0 = 0$.