8.2. Условия локального экстремума в терминах первой производной

Теорема 8.2. Пусть $f\colon E\to \mathbb {R}$ непрерывна в $B_\delta (x_0) \subset E$ и дифференцируема в $B'_\delta (x_0)$. Тогда

1. Если $f' \geqslant 0$ на $(x_0-\delta , x_0)$ и $f' \leqslant 0$ на $(x_0, x_0+\delta )$, то $x_0$ — точка локального максимума $f$ (строго, если неравенства для производной строгие).

2. Если $f' \leqslant 0$ на $(x_0-\delta , x_0)$ и $f' \geqslant 0$ на $(x_0, x_0+\delta )$, то $x_0$ — точка локального минимума $f$ (строго, если неравенства для производной строгие).

3. Если $f' > 0$ на $B_\delta '(x_0)$, то $f$ строго возрастает в точке $x_0$.

   Если $f' < 0$ на $B_\delta '(x_0)$, то $f$ строго убывает в точке $x_0$. В обоих случаях в точке $x_0$ нет локального экстремума.

$\blacktriangle$ Пусть $x \in B'_\delta (x_0)$. Тогда по Т. Лагранжа о среднем $\Delta f = f(x) - f(x_0) = f'(c) \Delta x$, где $c$ лежит между $x$ и $x_0$.

По условию теоремы, в случае 1) всегда $\Delta f \leqslant 0\ (< 0)$, т.е. $x_0$ — точка локального максимума $f$ (строго, если неравенства для производной строгие).

По условию теоремы, в случае 2) всегда $\Delta f \geqslant 0\ (> 0)$, т.е. $x_0$ — точка локального минимума $f$ (строго, если неравенства для производной строгие).

В случае 3) знак $\Delta f$ зависит от знака $\Delta x$:

Если $f' > 0$ на $B_\delta '(x_0)$, то $\Delta f < 0$ при $-\delta < \Delta x < 0$ и $\Delta f > 0$ при $0 < \Delta x < \delta$, т.е. $f$ строго возрастает в точке $x_0$.

Если $f' < 0$ на $B_\delta '(x_0)$, то $\Delta f > 0$ при $-\delta < \Delta x < 0$ и $\Delta f < 0$ при $0 < \Delta x < \delta$, т.е. $f$ строго убывает в точке $x_0$. $\blacksquare$