8.3. Условия локального экстремума в терминах высших производных

Теорема 8.3. Пусть $f\colon E\to \mathbb {R}$ имеет конечную $n$-ую производную в точке $x_0$ и

$f'(x_0) = \ldots = f^{(n-1)}(x_0) = 0$, а $f^{(n)}(x_0) \neq 0, n\in \mathbb {N}$. Тогда:

1. Если $n$ — чётно и $f^{(n)}(x_0) < 0$, то $x_0$ — точка строгого локального максимума $f$.

2. Если $n$ — чётно и $f^{(n)}(x_0) > 0$, то $x_0$ — точка строгого локального минимума $f$.

3. Если $n$ — нечётно, то $f$ не имеет локального экстремума в точке $x_0$:

   Если $f^{(n)}(x_0) > 0$, то $f$ строго возрастает в точке $x_0$, если $f^{(n)}(x_0) < 0$, то $f$ строго убывает в точке $x_0$.

$\blacktriangle$ По формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано имеем:

$\Delta f = f(x) - f(x_0) = \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(\Delta x)^ n + o((\Delta x)^ n) =$ $\left(\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} + \alpha (\Delta x)\right)(\Delta x)^ n$,

где $\alpha (\Delta x) = o(1)$ при $\Delta x\to 0$.

При достаточно малых по модулю $\Delta x\neq 0$ значение $|\alpha (\Delta x)| < \left|\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\right|$, следовательно, знак выражения $\left( \frac{f^{(n)}(x_0) }{n!} + \alpha (x_0) \right)$ совпадает со знаком $f^{(n)}(x_0)$.

Если $n$ чётно, то всегда $(\Delta x)^ n > 0$. Поэтому в случае 1) $\Delta f < 0$ при достаточно малых $\Delta x$, и, значит, $x_0$ — точка строго локального максимума $f$.

В случае 2) $\Delta f > 0$ при достаточно малых $\Delta x$, и, значит, $x_0$ — точка строго локального минимума $f$.

В случае 3) ($n$ — нечётно) знак $\Delta f$ зависит от знака $\Delta x$ (при достаточно малых $\Delta x$).

Если $f^{(n)}(x_0) > 0$, то $\Delta f < 0$ при $\Delta x < 0$ и $\Delta f > 0$ при $\Delta x > 0$, т.е. $f$ строго возрастает в точке $x_0$.

Если $f^{(n)}(x_0) < 0$, то $\Delta f > 0$ при $\Delta x < 0$ и $\Delta f < 0$ при $\Delta x > 0$, т.е. $f$ строго убывает в точке $x_0$. $\blacksquare$