10.2. Таблица основных неопределённых интегралов
-
$\int x^\alpha dx = \frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1} + C, \alpha \neq -1$ на $I$.
Если $\alpha \in \mathbb {Z}, \alpha \geqslant 0$, то $I=\mathbb {R}$,
если $\alpha \in \mathbb {Z}, \alpha < -1$, то $I=(-\infty , 0)$ или $I=(0, +\infty)$,
если $\alpha \notin \mathbb {Z}$, то $I = (0, +\infty )$.
$\int \frac1xdx = \ln |x| + C$ на $(-\infty , 0)$ и $(0, \infty )$.
$\int a^ xdx = \frac{a^ x}{\ln a} + C$ на $\mathbb {R}, a > 0, a\neq 1$.
$\int \cos xdx = \sin x + C$ на $\mathbb {R}$.
$\int \sin xdx = -\cos x + C$ на $\mathbb {R}$.
$\int \frac1{x^2 + a^2} dx = \frac1a\mathop {\rm arctg}\nolimits \frac{x}{a} + C$ на $\mathbb {R}, a\neq 0$.
$\int \frac1{x^2 - a^2} dx = \frac1{2a} \ln |\frac{x-a}{x+a}| + C$ на $(-\infty , -a), (-a, a), (a, +\infty )$.
$\int \frac1{\sqrt {a^2 - x^2}} dx = \arcsin \frac{x}{a} + C$ на $(-a, a), a > 0$.
$\int \frac1{\sqrt {x^2\pm a^2}} dx = \ln |x + \sqrt {x^2 \pm a^2}| + C$ на $\mathbb {R}$ для $+$, на $(-\infty , -|a|)$ и $(|a|, +\infty )$ для $-$.
$\int \mathop {\rm sh}\nolimits x dx = \mathop {\rm ch}\nolimits x + C$ на $\mathbb {R}$.
$\int \mathop {\rm ch}\nolimits x dx = \mathop {\rm sh}\nolimits x + C$ на $\mathbb {R}$.
$\int \frac1{\cos ^2 x} dx = \mathop {\rm tg}\nolimits x + C$ на $(-\frac\pi 2+\pi k, \frac\pi 2+\pi k), k\in \mathbb {Z}$.
$\int \frac1{\sin ^2 x} dx = \mathop {\rm ctg}\nolimits x + C$ на $(\pi k, \pi + \pi k), k\in \mathbb {Z}$.
$\int \frac1{\mathop {\rm ch}\nolimits ^2 x} dx = \mathop {\rm th}\nolimits x + C$ на $\mathbb {R}$.
$\int \frac1{\mathop {\rm sh}\nolimits ^2 x} dx = -\mathop {\rm cth}\nolimits x + C$ на $(-\infty , 0), (0, +\infty )$.
Все эти равенства проверяются непосредственным дифференцированием.
$\int e^{-x^2} dx$, $\int \frac{\sin x}{x} dx$, $\int \frac{\cos x}{x} dx$, $\int \frac1{\ln x} dx$.
Неопределённый интеграл данных функций не выражается комбинацией элементарных функций.