10.2. Таблица основных неопределённых интегралов
-
∫xαdx=xα+1α+1+C,α≠−1 на I.
Если α∈Z,α⩾, то I=\mathbb {R},
если \alpha \in \mathbb {Z}, \alpha < -1, то I=(-\infty , 0) или I=(0, +\infty),
если \alpha \notin \mathbb {Z}, то I = (0, +\infty ).
\int \frac1xdx = \ln |x| + C на (-\infty , 0) и (0, \infty ).
\int a^ xdx = \frac{a^ x}{\ln a} + C на \mathbb {R}, a > 0, a\neq 1.
\int \cos xdx = \sin x + C на \mathbb {R}.
\int \sin xdx = -\cos x + C на \mathbb {R}.
\int \frac1{x^2 + a^2} dx = \frac1a\mathop {\rm arctg}\nolimits \frac{x}{a} + C на \mathbb {R}, a\neq 0.
\int \frac1{x^2 - a^2} dx = \frac1{2a} \ln |\frac{x-a}{x+a}| + C на (-\infty , -a), (-a, a), (a, +\infty ).
\int \frac1{\sqrt {a^2 - x^2}} dx = \arcsin \frac{x}{a} + C на (-a, a), a > 0.
\int \frac1{\sqrt {x^2\pm a^2}} dx = \ln |x + \sqrt {x^2 \pm a^2}| + C на \mathbb {R} для +, на (-\infty , -|a|) и (|a|, +\infty ) для -.
\int \mathop {\rm sh}\nolimits x dx = \mathop {\rm ch}\nolimits x + C на \mathbb {R}.
\int \mathop {\rm ch}\nolimits x dx = \mathop {\rm sh}\nolimits x + C на \mathbb {R}.
\int \frac1{\cos ^2 x} dx = \mathop {\rm tg}\nolimits x + C на (-\frac\pi 2+\pi k, \frac\pi 2+\pi k), k\in \mathbb {Z}.
\int \frac1{\sin ^2 x} dx = \mathop {\rm ctg}\nolimits x + C на (\pi k, \pi + \pi k), k\in \mathbb {Z}.
\int \frac1{\mathop {\rm ch}\nolimits ^2 x} dx = \mathop {\rm th}\nolimits x + C на \mathbb {R}.
\int \frac1{\mathop {\rm sh}\nolimits ^2 x} dx = -\mathop {\rm cth}\nolimits x + C на (-\infty , 0), (0, +\infty ).
Все эти равенства проверяются непосредственным дифференцированием.
\int e^{-x^2} dx, \int \frac{\sin x}{x} dx, \int \frac{\cos x}{x} dx, \int \frac1{\ln x} dx.
Неопределённый интеграл данных функций не выражается комбинацией элементарных функций.