Processing math: 0%
Now you are in the subtree of Lecture Notes public knowledge tree. 

Распределение простых чисел среди натуральных

Пусть π(x):=p — количество простых, которые не превосходят x.

Теорема (Адамар, Валле – Гуссен, асимптотический закон распределения простых чисел). \frac{\pi (x)}{x / \ln x}\to 1 при x\to \infty или \pi (x) \sim \frac{x}{\ln x}.

Теорема (Чебышёв). \exists a, b, 0 < a < b\colon a \frac{x}{\ln x} \leqslant \pi (x) \leqslant b \frac{x}{\ln x}.

Пусть
\theta (x) := \sum \limits _{p\leqslant x} \ln p,

\psi (x) := \sum \limits _{(p, \alpha )\colon p^\alpha \leqslant x} \ln p = \sum \limits _{p\leqslant x} \left[ \frac{\ln x}{\ln p} \right] \ln p (поскольку количество таких \alpha , что p^\alpha \leqslant x, равно \left[ \frac{\ln x}{\ln p} \right]),

\lambda _1 := \liminf \limits _{x\to \infty } \frac{\theta (x)}{x},
\lambda _2 := \liminf \limits _{x\to \infty } \frac{\psi (x)}{x},
\lambda _3 := \liminf \limits _{x\to \infty } \frac{\pi (x)}{x / \ln x},

\mu _1 =: \limsup \limits _{x\to \infty } \frac{\theta (x)}{x},
\mu _2 =: \limsup \limits _{x\to \infty } \frac{\psi (x)}{x},
\mu _3 =: \limsup \limits _{x\to \infty } \frac{\pi (x)}{x / \ln x}.

Лемма. \lambda _1 = \lambda _2 = \lambda _3, \mu _1 = \mu _2 = \mu _3.

\blacktriangle  (Лемма)
\theta (x) = \sum \limits _{p\leqslant x} \ln p \leqslant \psi (x) = \sum \limits _{p\leqslant x} \left[ \frac{\ln x}{\ln p} \right] \ln p \leqslant \sum \limits _{p\leqslant x} \ln x = (\ln x) \pi (x) \Rightarrow
\frac{\theta (x)}{x} \leqslant \frac{\psi (x)}{x} \leqslant \frac{\pi (x)}{x / \ln x} \Rightarrow \lambda _1 \leqslant \lambda _2 \leqslant \lambda _3.

Докажем, что \lambda _1\geqslant \lambda _3.

\theta (x) = \sum \limits _{p\leqslant x} \ln p \geqslant \sum \limits _{\substack{x^\beta < p \leqslant x\\ \beta \in (0, 1)}} \ln p > \sum \limits _{x^\beta < p \leqslant x} \ln (x^\beta ) = \beta \ln x \sum \limits _{x^\beta < p \leqslant x} 1 = \beta \ln x (\pi (x) - \pi (x^\beta )).

\frac{\theta (x)}{x} > \beta \ln x (\frac{\pi (x)}{x} - \frac{\pi (x^\beta )}{x}) \geqslant \beta \ln x (\frac{\pi (x)}{x} - \frac{x^\beta }{x}).

Перейдём к нижнему пределу при x\to \infty

\lambda _1 \geqslant \liminf \limits _{x\to \infty } \beta (\frac{\pi (x)}{x/ \ln x} - x^{\beta -1}\ln x) = \beta \lambda _3, т.к. x^{\beta -1}\to 0 при x\to \infty .

\sup \limits _{\beta \in (0, 1)} \lambda _1 \geqslant \sup \limits _{\beta \in (0, 1)} (\beta \lambda _3) \Rightarrow \lambda _1\geqslant \lambda _3 \Rightarrow \lambda _1 = \lambda _2 = \lambda _3.

Равенство \mu _1 = \mu _2 = \mu _3 доказывается аналогично.
\blacksquare

\blacktriangle  (Теорема)

Оценим \pi(x) сверху.

Пусть n\in \mathbb {N}. Рассмотрим C_{2n}^ n. Заметим, что C_{2n}^ n \lt 2^{2n} = \sum\limits_{k=0}^{2n} C_{2n}^k.

C_{2n}^ n = \frac{(2n)!}{(n!)^2} \geqslant \prod \limits _{n\lt p\leqslant 2n} p.

2n\ln 2 > \ln (C_{2n}^ n) \geqslant \sum \limits _{n \lt p\leqslant 2n} \ln p = \theta (2n) - \theta (n).

\theta (2n) - \theta (n) \lt 2n\ln 2.

Рассотрим n = 1, 2, 4, 8, \ldots , 2^ k, k\in \mathbb {N}.

\theta (2) - \theta (1) \lt 2 \cdot 1\ln 2.

\theta (4) - \theta (2) \lt 2 \cdot 2\ln 2.

\theta (2^{k+1}) - \theta (2^ k) \lt 2\cdot 2^ k \ln 2.

\theta (2^{k+1}) - \theta (1) = \theta (2^{k+1}) \lt 2^{k+2}\ln 2.

Пусть x\in \mathbb {R}. Найдём такое k\in \mathbb {N}, что 2^ k \lt x \leqslant 2^{k+1}. Тогда

\theta (x) \leqslant \theta (2^{k+1}) < 2^{k+2} \ln 2 \lt (4\ln 2) x \Rightarrow \frac{\theta (x)}{x} \leqslant 4\ln 2 \Rightarrow \mu _1 \leqslant 4\ln 2 \Rightarrow \mu _3\leqslant 4\ln 2.

\limsup \limits _{x\to \infty } \frac{\pi (x)}{x/\ln x} \leqslant 4\ln 2 \Rightarrow \frac{\pi (x)}{x/\ln x} \leqslant b \iff \pi (x) \leqslant b\frac{x}{\ln x}.

Оценим \pi(x) снизу.

C_{2n}^ n > \frac{2^{2n}}{2n+1} (поскольку \forall k\in[0,2n]\colon C_{2n}^n \geqslant C_{2n}^k).

\ln (C_{2n}^ n) > 2n\ln 2 - \ln (2n+1).

C_{2n}^ n = \frac{(2n)!}{(n!)^2}.

Пусть p \leqslant 2n. Степень вхождения p в (2n)! равна \left[ \frac{2n}{p} \right] + \left[ \frac{2n}{p^2} \right] + \left[ \frac{2n}{p^3} \right] \ldots .

Степень вхождения p в (n!)^2 равна 2\left(\left[ \frac{n}{p} \right] + \left[ \frac{n}{p^2} \right] + \left[ \frac{n}{p^3} \right] + \ldots \right).

Утверждение: [2x] - 2[x] \leqslant 1.

Степень вхождения данного p\leqslant 2n в C_{2n}^ n равна
\left(\left[ \frac{2n}{p} \right] - 2\left[ \frac{n}{p} \right]\right) + \left(\left[ \frac{2n}{p^2} \right] - 2\left[ \frac{n}{p^2} \right]\right) + \ldots \leqslant \left[ \frac{\ln {2n}}{\ln p} \right] \Rightarrow
C_{2n}^ n \leqslant \prod \limits _{p\leqslant 2n} p^{\left[ \frac{\ln {2n}}{\ln p} \right]} \Rightarrow
\ln C_{2n}^ n \leqslant \sum \limits _{p\leqslant 2n} \left[ \frac{\ln {2n}}{\ln p} \right] \ln p = \psi (2n).

\ln C_{2n}^ n \geqslant 2n\ln 2 - \ln (2n+1).

Берём произвольное x\in \mathbb {R}. Найдём n\in \mathbb {N}\colon 2n < x \leqslant 2n+2.

\psi (x) > \psi (2n) \geqslant 2n\ln 2 - \ln (2n+1) \geqslant (x-2)\ln 2 - \ln (x+1).

\frac{\psi (x)}{x} > \frac{(x-2)\ln 2}{x} - \frac{\ln (x+1)}{x} \Rightarrow \lambda _2 \geqslant \ln 2\Rightarrow \lambda _3\geqslant \ln 2 \Rightarrow \exists a>0\colon \frac{\pi (x)}{x/\ln x} \geqslant a \Rightarrow \pi (x) \geqslant a\frac{x}{\ln x}. \blacksquare

Теорема (постулат Бертрана). \forall x \geqslant 1\ \exists p\colon p\in [x, 2x].

Более сильное утверждение: \exists функция f(x)\colon f(x) = o(x), \forall x \geqslant 1\ \exists p\colon p\in [x, x+f(x)].

Доказано, что \exists f(x) = O(x^{0{,}525}).

Дзета функция Римана \zeta (s) := \sum \limits _{n=1}^\infty \frac1{n^ s}, s = \sigma +it.

Гипотеза Римана: \zeta(s) = 0 только при \sigma = \frac12.

Усиленная форма постулата Бертрана не решается с гипотезой Римана.

Гипотеза Римана \iff f(x) = O(\sqrt x \ln ^\gamma x), \gamma > 0.

Настоящая гипотеза: f(x) = O(\ln ^2 x). Доказано, что f(x) = \Omega (\ln x).