Распределение простых чисел среди натуральных
Пусть $\pi (x) := \sum \limits _{p\leqslant x} 1$ — количество простых, которые не превосходят $x$.
Теорема (Адамар, Валле – Гуссен, асимптотический закон распределения простых чисел). $\frac{\pi (x)}{x / \ln x}\to 1$ при $x\to \infty $ или $\pi (x) \sim \frac{x}{\ln x}$.
Теорема (Чебышёв). $\exists a, b, 0 < a < b\colon a \frac{x}{\ln x} \leqslant \pi (x) \leqslant b \frac{x}{\ln x}$.
Пусть
$\theta (x) := \sum \limits _{p\leqslant x} \ln p$,
$\psi (x) := \sum \limits _{(p, \alpha )\colon p^\alpha \leqslant x} \ln p = \sum \limits _{p\leqslant x} \left[ \frac{\ln x}{\ln p} \right] \ln p$ (поскольку количество таких $\alpha $, что $p^\alpha \leqslant x$, равно $\left[ \frac{\ln x}{\ln p} \right]$),
$\lambda _1 := \liminf \limits _{x\to \infty } \frac{\theta (x)}{x}$,
$\lambda _2 := \liminf \limits _{x\to \infty } \frac{\psi (x)}{x}$,
$\lambda _3 := \liminf \limits _{x\to \infty } \frac{\pi (x)}{x / \ln x}$,
$\mu _1 =: \limsup \limits _{x\to \infty } \frac{\theta (x)}{x}$,
$\mu _2 =: \limsup \limits _{x\to \infty } \frac{\psi (x)}{x}$,
$\mu _3 =: \limsup \limits _{x\to \infty } \frac{\pi (x)}{x / \ln x}$.
Лемма. $\lambda _1 = \lambda _2 = \lambda _3$, $\mu _1 = \mu _2 = \mu _3$.
$\blacktriangle $ (Лемма)
$\theta (x) = \sum \limits _{p\leqslant x} \ln p \leqslant \psi (x) = \sum \limits _{p\leqslant x} \left[ \frac{\ln x}{\ln p} \right] \ln p \leqslant \sum \limits _{p\leqslant x} \ln x = (\ln x) \pi (x) \Rightarrow $
$\frac{\theta (x)}{x} \leqslant \frac{\psi (x)}{x} \leqslant \frac{\pi (x)}{x / \ln x} \Rightarrow $ $\lambda _1 \leqslant \lambda _2 \leqslant \lambda _3$.
Докажем, что $\lambda _1\geqslant \lambda _3$.
$\theta (x) = \sum \limits _{p\leqslant x} \ln p \geqslant \sum \limits _{\substack{x^\beta < p \leqslant x\\ \beta \in (0, 1)}} \ln p > \sum \limits _{x^\beta < p \leqslant x} \ln (x^\beta ) =$ $\beta \ln x \sum \limits _{x^\beta < p \leqslant x} 1 = \beta \ln x (\pi (x) - \pi (x^\beta ))$.
$\frac{\theta (x)}{x} > \beta \ln x (\frac{\pi (x)}{x} - \frac{\pi (x^\beta )}{x}) \geqslant \beta \ln x (\frac{\pi (x)}{x} - \frac{x^\beta }{x})$.
Перейдём к нижнему пределу при $x\to \infty $
$\lambda _1 \geqslant \liminf \limits _{x\to \infty } \beta (\frac{\pi (x)}{x/ \ln x} - x^{\beta -1}\ln x) = \beta \lambda _3$, т.к. $x^{\beta -1}\to 0$ при $x\to \infty $.
$\sup \limits _{\beta \in (0, 1)} \lambda _1 \geqslant \sup \limits _{\beta \in (0, 1)} (\beta \lambda _3) \Rightarrow \lambda _1\geqslant \lambda _3 \Rightarrow \lambda _1 = \lambda _2 = \lambda _3$.
Равенство $\mu _1 = \mu _2 = \mu _3$ доказывается аналогично.
$\blacksquare $
$\blacktriangle $ (Теорема)
Оценим $\pi(x)$ сверху.
Пусть $n\in \mathbb {N}$. Рассмотрим $C_{2n}^ n$. Заметим, что $C_{2n}^ n \lt 2^{2n} = \sum\limits_{k=0}^{2n} C_{2n}^k$.
$C_{2n}^ n = \frac{(2n)!}{(n!)^2} \geqslant \prod \limits _{n\lt p\leqslant 2n} p$.
$2n\ln 2 > \ln (C_{2n}^ n) \geqslant \sum \limits _{n \lt p\leqslant 2n} \ln p = \theta (2n) - \theta (n)$.
$\theta (2n) - \theta (n) \lt 2n\ln 2$.
Рассотрим $n = 1, 2, 4, 8, \ldots , 2^ k, k\in \mathbb {N}$.
$\theta (2) - \theta (1) \lt 2 \cdot 1\ln 2$.
$\theta (4) - \theta (2) \lt 2 \cdot 2\ln 2$.
…
$\theta (2^{k+1}) - \theta (2^ k) \lt 2\cdot 2^ k \ln 2$.
$\theta (2^{k+1}) - \theta (1) = \theta (2^{k+1}) \lt 2^{k+2}\ln 2$.
Пусть $x\in \mathbb {R}$. Найдём такое $k\in \mathbb {N}$, что $2^ k \lt x \leqslant 2^{k+1}$. Тогда
$\theta (x) \leqslant \theta (2^{k+1}) < 2^{k+2} \ln 2 \lt (4\ln 2) x \Rightarrow $ $\frac{\theta (x)}{x} \leqslant 4\ln 2 \Rightarrow $ $\mu _1 \leqslant 4\ln 2 \Rightarrow \mu _3\leqslant 4\ln 2$.
$\limsup \limits _{x\to \infty } \frac{\pi (x)}{x/\ln x} \leqslant 4\ln 2 \Rightarrow $ $\frac{\pi (x)}{x/\ln x} \leqslant b \iff \pi (x) \leqslant b\frac{x}{\ln x}$.
Оценим $\pi(x)$ снизу.
$C_{2n}^ n > \frac{2^{2n}}{2n+1}$ (поскольку $\forall k\in[0,2n]\colon C_{2n}^n \geqslant C_{2n}^k$).
$\ln (C_{2n}^ n) > 2n\ln 2 - \ln (2n+1)$.
$C_{2n}^ n = \frac{(2n)!}{(n!)^2}$.
Пусть $p \leqslant 2n$. Степень вхождения $p$ в $(2n)!$ равна $\left[ \frac{2n}{p} \right] + \left[ \frac{2n}{p^2} \right] + \left[ \frac{2n}{p^3} \right] \ldots $.
Степень вхождения $p$ в $(n!)^2$ равна $2\left(\left[ \frac{n}{p} \right] + \left[ \frac{n}{p^2} \right] + \left[ \frac{n}{p^3} \right] + \ldots \right)$.
Утверждение: $[2x] - 2[x] \leqslant 1$.
Степень вхождения данного $p\leqslant 2n$ в $C_{2n}^ n$ равна
$\left(\left[ \frac{2n}{p} \right] - 2\left[ \frac{n}{p} \right]\right) + \left(\left[ \frac{2n}{p^2} \right] - 2\left[ \frac{n}{p^2} \right]\right) + \ldots \leqslant \left[ \frac{\ln {2n}}{\ln p} \right] \Rightarrow $
$C_{2n}^ n \leqslant \prod \limits _{p\leqslant 2n} p^{\left[ \frac{\ln {2n}}{\ln p} \right]} \Rightarrow $
$\ln C_{2n}^ n \leqslant \sum \limits _{p\leqslant 2n} \left[ \frac{\ln {2n}}{\ln p} \right] \ln p = \psi (2n)$.
$\ln C_{2n}^ n \geqslant 2n\ln 2 - \ln (2n+1)$.
Берём произвольное $x\in \mathbb {R}$. Найдём $n\in \mathbb {N}\colon $ $2n < x \leqslant 2n+2$.
$\psi (x) > \psi (2n) \geqslant 2n\ln 2 - \ln (2n+1) \geqslant (x-2)\ln 2 - \ln (x+1)$.
$\frac{\psi (x)}{x} > \frac{(x-2)\ln 2}{x} - \frac{\ln (x+1)}{x} \Rightarrow \lambda _2 \geqslant \ln 2\Rightarrow \lambda _3\geqslant \ln 2 \Rightarrow $ $\exists a>0\colon \frac{\pi (x)}{x/\ln x} \geqslant a \Rightarrow \pi (x) \geqslant a\frac{x}{\ln x}$. $\blacksquare $
Теорема (постулат Бертрана). $\forall x \geqslant 1\ \exists p\colon p\in [x, 2x]$.
Более сильное утверждение: $\exists $ функция $f(x)\colon f(x) = o(x), \forall x \geqslant 1\ \exists p\colon p\in [x, x+f(x)]$.
Доказано, что $\exists f(x) = O(x^{0{,}525})$.
Дзета функция Римана $\zeta (s) := \sum \limits _{n=1}^\infty \frac1{n^ s}, s = \sigma +it$.
Гипотеза Римана: $\zeta(s) = 0$ только при $\sigma = \frac12$.
Усиленная форма постулата Бертрана не решается с гипотезой Римана.
Гипотеза Римана $\iff f(x) = O(\sqrt x \ln ^\gamma x), \gamma > 0$.
Настоящая гипотеза: $f(x) = O(\ln ^2 x)$. Доказано, что $f(x) = \Omega (\ln x)$.