Индексы
\newcommand\ind{\mathop{\rm ind}\nolimits} \ind _ g a\pmod m — такое x, что g^ x \equiv a\pmod m.
К сожалению, если m \notin \{ 2, 4, p^\alpha , 2p^\alpha \} , то индексы не определены. Но кое-что можно сделать: рассмотреть систему индексов.
1) Пусть m = p_1^{\alpha _1}\cdot \ldots \cdot p_ k^{\alpha _ k}, p_ i — нечётное простое.
Берут первообразные корни по модулям p_1^{\alpha _1}, \ldots , p_ k^{\alpha _ k} — g_1, \ldots , g_ k — и рассматривают соответствующие индексы \gamma _1, \ldots , \gamma _ k — система индексов.
2) Пусть m = 2^\alpha , \alpha \geqslant 3.
5^{2^{\alpha -2}} \equiv 1\ (2^\alpha ).
5^{2^{\alpha -3}} = (1 + 4)^{2^{\alpha -3}}.
(1 + 4)^2 = 1 + 8 + 16 = 1+8t, t — нечётное.
(1 + 4)^{2^2} = 1 + 16t_1, t_1 — нечётное.
…
(1 + 4)^{2^{\alpha -3}} = 1 + 2^{\alpha -1}t_{\alpha -4}, t_{\alpha -4} — нечётное.
Значит, \tau (5) = 2^{\alpha -2}. 5^1, 5^2, \ldots , 5^\tau — различные mod 2^\alpha .
-5^1, -5^2, \ldots , -5^\tau — различные mod 2^\alpha . При этом они не совпадают с первой группой. Действительно -5^ k \equiv 5^ l\pmod{2^\alpha} \iff -5^ k \equiv 5^ l\pmod 4, противоречие.
Всего чисел здесь 2^{\alpha -1} = \varphi (2^\alpha ) = \varphi (m) \Rightarrow любое нечётное число по mod 2^\alpha представляется в виде (-1)^{\beta _0} 5^{\beta _1}, где \beta _0\in \{ 0, 1\} , \beta _1 \in \{ 1, \ldots , 2^{\alpha -1}\} .
Тогда (\beta _0, \beta _1) можно считать системой индексов по mod 2^\alpha , \alpha \geqslant 3.
3) Пусть m = 2^{\alpha _0}p_1^{\alpha _1}\cdot \ldots \cdot p_ k^{\alpha _ k}.
Системой индексов будет либо (\gamma _0, \ldots , \gamma _ k), если \alpha _0\leqslant 2, либо (\beta _0, \beta _1, \gamma _1, \ldots , \gamma _ k), если \alpha _0\geqslant 3.