Banax cəbrləri

$\newcommand{\bbC}{\mathbb{C}}$
$\newcommand{\bbN}{\mathbb{N}}$
$\newcommand{\bbZ}{\mathbb{Z}}$

Cəbrlər

Aşağıdakı aksiomları ödəmək şərti ilə hər bir $x$, $y$ elementlər cütünə bu elementlərin hasili adlanan $xy$ elementi qarşı qoyulmuş $A$ xətti fəzası cəbr adlanır:
1) $(xy)z = x(yz)$,
2) $\alpha (xy) = (\alpha x) y = x (\alpha y)$,
3) $x (y + z) = xy + xz$,
4) $(y + z) x = yx + zx$.

Əgər ixtiyari $x$, $y \in A$ elementləri üçün $xy = yx$ bərabərliyi ödənərsə, onda $A$ cəbri kommutativ cəbr adlanır.
Əgər elə $e \in A$ elementi varsa ki, istənilən $x \in A$ üçün $xe = ex = x$ olsun, onda $e$ elementinə $A$ cəbrinin vahid elementi (və ya vahidi) deyilir. Vahid elementə malik cəbr unital cəbr adlanır. Unital $A$ cəbrində verilmiş $x \in A$ elementi üçün $x x^{-1} = x^{-1} x = e$ bərabərliklərini ödəyən $x^{-1} \in A$ elementi varsa, onda $x^{-1}$ elementinə $x$ elementinin tərsi deyilir.

Çalışma. Əgər $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n \in A$ elementlərinin hər birinin tərsi varsa, onda $x_1 x_2 \ldots x_n$ elementinin də tərsi var.

Unital $A$ cəbrinin bütün tərsi olan elementləri çoxluğunu $A^{-1}$ ilə işarə edəcəyik.

Nümunə. $L$ normalı fəzasında təsir edən bütün məhdud xətti operatorlar çoxluğu $\mathcal{B}(L)$ unital cəbrdir. Bu cəbrin vahid elementi $E \colon x \mapsto x$ operatorudur.

Əgər $A$ cəbrinin $B$ xətti altfəzası üçün $x, y \in B$ olmasından $xy \in B$ olması alınarsa, onda $B$ altfəzası $A$ cəbrinin altcəbri adlanır. Əgər $I \subset A$ altcəbrdirsə və ixtiyari $x \in I$, $y \in A$ elementləri üçün $xy \in I$ və $yx \in I$ olarsa, onda $I$ çoxluğuna $A$ cəbrinin idealı deyilir.

Nümunə. $L$ normalı fəzasında təsir edən bütün kompakt operatorlar çoxluğu $\mathcal{B}(L)$ cəbrinin idealıdır.

Tutaq ki, $A$ və $B$ cəbrlərdir. Əgər $\varphi \colon A \to B$ xətti operatoru ixtiyari $x$, $y \in A$ elementləri üçün $\varphi(xy) = \varphi(x) \varphi(y)$ şərtini ödəyərsə, onda bu operator $A$ cəbrinin $B$ cəbrinə homomorfizmi adlanır. Qarşılıqlı birqiymətli homomorfizm izomorfizm adlanır.

Banax cəbrləri

Aşağıdakı şərtləri ödəyən norma ilə təchiz olunmuş unital cəbr normalı cəbr adlanır:
1) $\|xy\| \le \|x\| \cdot \|y\|$,
2) $\|e\| = 1$.

Normalı cəbr tam olduqda ona Banax cəbri deyilir.

Nümunə. $\bbC$ kompleks ədədlər çoxluğu kommutativ Banax cəbridir.

Nümunə. $\mathcal{B}(L)$ normalı cəbrdir. Əgər $L$ Banax fəzasıdırsa, onda $\mathcal{B}(L)$ Banax cəbridir.

Nümunə. Müstəvi üzərində $\{z \in \bbC \colon |z| \le 1\}$ qapalı vahid dairəsində kəsilməz, bu dairənin daxilində isə analitik olan bütün kompleks funksiyalar çoxluğunda $f(z)$ elementinin normasını
$$\|f\| := \max_{|z| \le 1} |f(z)|$$
kimi təyin etsək kommutativ Banax cəbri alarıq. Bu cəbrdə $e(z) \equiv 1$ elementi vahid elementdir.

Nümunə. Kompleks ədədlərdən ibarət olan və
$$\sum_{n=-\infty}^{\infty} |x_n| < \infty$$
şərtini ödəyən bütün $x = (\ldots, x_{-2}, x_{-1}, x_0, x_1, x_2, \ldots)$ ikitərəfli ədədi ardıcıllıqlar çoxluğunu $\ell_1(\bbZ)$ ilə işarə edək. Bu çoxluqda $x = (\ldots, x_{-2}, x_{-1}, x_0, x_1, x_2, \ldots)$ və $y = (\ldots, y_{-2}, y_{-1}, y_0, y_1, y_2, \ldots)$ elementlərinin hasili olaraq komponentləri
$$z_n := \sum_{k=-\infty}^{\infty} x_k y_{n-k}, \quad n \in \bbZ$$
düsturu ilə təyin olunan $x \ast y := (\ldots, z_{-2}, z_{-1}, z_0, z_1, z_2, \ldots)$ elementini, norma olaraq isə
$$\|x\| := \sum_{n=-\infty}^{\infty} |x_n|$$
qəbul etsək, kommutativ Banax cəbri alarıq. Bu cəbr Viner cəbri adlanır.

Lemma. Tutaq ki, $A$ Banax cəbridir və $\|x\| < 1$. Onda $e-x$ elementinin tərsi var və
$$(e-x)^{-1} = e + x + x^2 + \ldots.$$
Bundan əlavə,
$$\|(e-x)^{-1}\| \le \frac{1}{1 - \|x\|},$$
$$\|(e-x)^{-1} - e\| \le \frac{\|x\|}{1 - \|x\|}.$$

İsbatı. Hər bir $n \in \bbN$ üçün $\|x^n\| \le \|x\|^n$ olduğuna görə
$$e + x + x^2 + \ldots$$
sırası mütləq yığılır. $A$ Banax fəzası olduğu üçün bu sıra müəyyən $y \in A$ elementinə yığılır:
$$y = \lim_{n \to \infty} (e + x + \ldots + x^n).$$
Onda
$$y(e-x) = (e-x)y = \lim_{n \to \infty} (e - x^{n+1}) = e$$
olduğu üçün $y = (e-x)^{-1}$.

Tərs element üçün aldığımız sıranın cəmini qiymətləndirməklə
$$\|(e-x)^{-1}\| \le 1 + \|x\| + \|x\|^2 + \ldots = \frac{1}{1 - \|x\|}$$
və
$$\|(e-x)^{-1} - e\| \le \|x\| + \|x\|^2 + \|x\|^3 + \ldots = \frac{\|x\|}{1 - \|x\|}$$
bərabərsizliklərini ala bilərik. $\square$

Lemma. Tutaq ki, $A$ Banax cəbridir. Onda $A^{-1}$ açıq çoxluqdur və $x \mapsto x^{-1}$ inikası bu çoxluqda təyin olunmuş kəsilməz inikasdır.

İsbatı. Tutaq ki, $x_0 \in A^{-1}$, $h \in A$ və
$$\|h\| < \frac{1}{\|x_0^{-1}\|}.$$
Onda $\|x_0^{-1} h\| < 1$ və buna görə də
$$x_0 + h = x_0 (e + x_0^{-1} h) \in A^{-1}.$$
Beləliklə, $A^{-1}$ açıq çoxluqdur. Bu çoxluğun hər bir elementinə onun tərsini qoyan inikasın kəsilməzliyi isə aşağıdakı kimi alınır:
$$\begin{multline*} \|(x_0 + h)^{-1} - x_0^{-1}\| = \|(x_0 (e + x_0^{-1} h))^{-1} - x_0^{-1}\| = \|(e + x_0^{-1} h)^{-1} x_0^{-1} - x_0^{-1}\| \le \\ \le \|(e + x_0^{-1} h)^{-1} - e\| \|x_0^{-1}\| \le \frac{\|x_0^{-1} h\| \|x_0^{-1}\|}{1 - \|x_0^{-1} h\|} \le \frac{\|x_0^{-1}\|^2 \|h\|}{1 - \|x_0^{-1}\| \|h\|} \to 0, \qquad \|h\| \to 0. \end{multline*}$$
$\square$