Processing math: 100%
Now you are in the subtree of Funksional analizdən mühazirələr project. 

Spektr və rezolvent

Tutaq ki, A Banax cəbridir və xA. Əgər λC ədədi üçün xλe elementinin tərsi varsa, onda λ ədədi x elementinin requlyar nöqtəsi adlanır. Bütün requlyar olmayan nöqtələr çoxluğu x elementinin spektri adlanır və σ(x) ilə işarə olunur:
σ(x):={λCxλeA1}.
Requlyar nöqtələr çoxluğunda təyin olunmuş
Cσ(x)λ(xλe)1A
inikası x elementinin rezolventi adlanır.

Lemma. İxtiyari xA üçün σ(x) qapalıdır və σ(x){λC:|λ|x}.

İsbatı. A1 çoxluğunun açıq olmasından və CλxλeA inikasının kəsilməzliyindən çıxır ki, x elementinin requlyar nöqtələr çoxluğu
Cσ(x)={λCxλeA1}
açıqdır. Bu isə o deməkdir ki, σ(x) qapalıdır.

Tutaq ki, |λ|>x. Onda 1λx<1 bərabərsizliyindən çıxır ki,
xλe=λ(e1λx)A1,
yəni λσ(x).

Teorem. Tutaq ki, A Banax cəbridir və xA. İxtiyari fA üçün f((xλe)1) ədədi funksiyası Cσ(x) çoxluğunda analitikdir və
f((xλe)1)0,λ.

İsbatı. Tutaq ki, λ0Cσ(x). Onda
limλλ0(xλe)1(xλ0e)1λλ0=limλλ0(xλe)1(xλ0e)1=((xλ0e)1)2
bərabərliyindən çıxır ki, F(λ):=f((xλe)1) funksiyası λ0 nöqtəsində diferensiallanır:
F(λ0)=limλλ0F(λ)F(λ0)λλ0=limλλ0f((xλe)1(xλ0e)1λλ0)==f(limλλ0(xλe)1(xλ0e)1λλ0)=f(((xλ0e)1)2).

Bundan əlavə, |λ|>x olduqda
|F(λ)|f(xλe)1=f|λ|(e1λx)1f|λ|11x/|λ|=f|λ|x0,λ.

Nəticə. İxtiyari xA üçün σ(x).

İsbatı. Tutaq ki, σ(x)=. Onda ixtiyari fA üçün F(λ)=f((xλe)1) ədədi funksiyası tam funksiyadır və
F(λ)0,λ.
Liuvill teoreminə əsasən, F(λ)0. Han–Banax teoreminə görə bu yalnız (xλe)1=0A olduqda mümkündür. Bu isə ola bilməz. Ona görə də σ(x).