Spektr və rezolvent
Tutaq ki, A Banax cəbridir və x∈A. Əgər λ∈C ədədi üçün x−λe elementinin tərsi varsa, onda λ ədədi x elementinin requlyar nöqtəsi adlanır. Bütün requlyar olmayan nöqtələr çoxluğu x elementinin spektri adlanır və σ(x) ilə işarə olunur:
σ(x):={λ∈C∣x−λe∉A−1}.
Requlyar nöqtələr çoxluğunda təyin olunmuş
C∖σ(x)∋λ↦(x−λe)−1∈A
inikası x elementinin rezolventi adlanır.
Lemma. İxtiyari x∈A üçün σ(x) qapalıdır və σ(x)⊂{λ∈C:|λ|≤‖x‖}.
İsbatı. A−1 çoxluğunun açıq olmasından və C∋λ↦x−λe∈A inikasının kəsilməzliyindən çıxır ki, x elementinin requlyar nöqtələr çoxluğu
C∖σ(x)={λ∈C∣x−λe∈A−1}
açıqdır. Bu isə o deməkdir ki, σ(x) qapalıdır.
Tutaq ki, |λ|>‖x‖. Onda ‖1λx‖<1 bərabərsizliyindən çıxır ki,
x−λe=−λ(e−1λx)∈A−1,
yəni λ∉σ(x).
◻
Teorem. Tutaq ki, A Banax cəbridir və x∈A. İxtiyari f∈A∗ üçün f((x−λe)−1) ədədi funksiyası C∖σ(x) çoxluğunda analitikdir və
f((x−λe)−1)→0,λ→∞.
İsbatı. Tutaq ki, λ0∈C∖σ(x). Onda
limλ→λ0(x−λe)−1−(x−λ0e)−1λ−λ0=limλ→λ0(x−λe)−1(x−λ0e)−1=((x−λ0e)−1)2
bərabərliyindən çıxır ki, F(λ):=f((x−λe)−1) funksiyası λ0 nöqtəsində diferensiallanır:
F′(λ0)=limλ→λ0F(λ)−F(λ0)λ−λ0=limλ→λ0f((x−λe)−1−(x−λ0e)−1λ−λ0)==f(limλ→λ0(x−λe)−1−(x−λ0e)−1λ−λ0)=f(((x−λ0e)−1)2).
Bundan əlavə, |λ|>‖x‖ olduqda
|F(λ)|≤‖f‖‖(x−λe)−1‖=‖f‖|λ|‖(e−1λx)−1‖≤‖f‖|λ|11−‖x‖/|λ|=‖f‖|λ|−‖x‖→0,λ→∞.
◻
Nəticə. İxtiyari x∈A üçün σ(x)≠∅.
İsbatı. Tutaq ki, σ(x)=∅. Onda ixtiyari f∈A∗ üçün F(λ)=f((x−λe)−1) ədədi funksiyası tam funksiyadır və
F(λ)→0,λ→∞.
Liuvill teoreminə əsasən, F(λ)≡0. Han–Banax teoreminə görə bu yalnız (x−λe)−1=0A olduqda mümkündür. Bu isə ola bilməz. Ona görə də σ(x)≠∅.
◻