Açıq və qapalı çoxluqlar

$\newcommand{\bbQ}{\mathbb{Q}}$
$\newcommand{\bbR}{\mathbb{R}}$
$\DeclareMathOperator{\interior}{int}$
$\DeclareMathOperator{\cl}{cl}$

$X$ metrik fəzasında mərkəzi $a \in X$ nöqtəsində və radiusu $r > 0$ ədədi olan açıq kürə
$$U_r(a) = \{x \in X \mid \rho(x, a) < r\}$$
düsturu ilə təyin olunur. Bu çoxluğa $a$ nöqtəsinin $r$-ətrafı və ya sadəcə ətrafı da deyəcəyik. Əgər $S \subset X$ çoxluğunun $a$ nöqtəsi müəyyən $U_r(a)$ ətrafı ilə birlikdə bu çoxluğa daxil olarsa, onda $a$ nöqtəsi $S$ çoxluğunun daxili nöqtəsi adlanır. $S$ çoxluğunun bütün daxili nöqtələri çoxluğu $\interior S$ və ya $S^\circ$ ilə işarə olunur.

Əgər $a \in X$ nöqtəsinin istənilən ətrafında $S \subset X$ çoxluğunun $a$ nöqtəsindən fərqli heç olmazsa bir nöqtəsi olarsa, onda $a$ nöqtəsi $S$ çoxluğunun limit nöqtəsi adlanır. $S$ çoxluğuna onun bütün limit nöqtələri çoxluğunu birləşdirməklə alınan çoxluq $S$ çoxluğunun qapanması adlanır və $\cl S$ və ya $\overline{S}$ ilə işarə olunur. Daxili nöqtələri çoxluğu ilə üst-üstə düşən çoxluğa açıq çoxluq, qapanması ilə üst-üstə düşən çoxluğa isə qapalı çoxluq deyilir.

Nümunə. İxtiyari $X$ metrik fəzasında $\varnothing$ və $X$ çoxluqları həm açıq, həm də qapalı çoxluqlardır.

Nümunə. $\bbR$ ədəd oxunda ixtiyari $(a,b)$ intervalı açıq, $[a,b]$ parçası isə qapalıdır.

Çalışma. $X$ metrik fəzasında $O$ çoxluğunun açıq olması üçün zəruri və kafi şərt onun $F = X \setminus O$ tamamlayıcısının qapalı olmasıdır.

Lemma. Açıq çoxluqların ixtiyari sayda birləşməsi və sonlu sayda kəsişməsi açıq çoxluqlardır.
İsbatı. Tutaq ki, $O_i$, $i \in I$ açıq çoxluqlardır. İxtiyari $x \in \bigcup_{i \in I} O_i$ nöqtəsi götürək. Onda müəyyən $i \in I$ indeksi üçün $x \in O_i$ olacaq. $O_i$ açıq olduğu üçün elə $r > 0$ ədədi var ki, $U_r(x) \subset O_i \subset \bigcup_{i \in I} O_i$. Bu isə o deməkdir ki, $\bigcup_{i \in I} O_i$ çoxluğu açıqdır.

İndi isə tutaq ki, $O_1$, $O_2$, $\ldots$, $O_n$ açıq çoxluqlardır. İxtiyari $x \in \bigcap_{i=1}^n O_i$ nöqtəsi götürək. Onda elə $r_i > 0$ ədədləri var ki, $U_{r_i}(x) \subset O_i$. Ona görə də, $r := \min\{r_1, r_2, \ldots, r_n\}$ qəbul etsək $U_r(x) \subset \bigcap_{i=1}^n O_i$ olar. Deməli, $x \in \bigcap_{i=1}^n O_i$ çoxluğu açıqdır.
$\square$

Lemma. Qapalı çoxluqların ixtiyari sayda kəsişməsi və sonlu sayda birləşməsi qapalı çoxluqlardır.
İsbatı. Nəzərə alsaq ki, açıq çoxluğun tamamlayıcısı qapalıdır, qapalı çoxluğun tamamlayıcısı isə açıqdır və ixtiyari $S_i$, $i \in I$ çoxluqları üçün
$$X \setminus \bigcup_{i \in I} S_i = \bigcap_{i \in I} (X \setminus S_i) \quad \text{və} \quad X \setminus \bigcap_{i \in I} S_i = \bigcup_{i \in I} (X \setminus S_i)$$
bərabərlikləri doğrudur, bundan əvvəlki lemmaya əsaslanmaq kifayətdir.
$\square$

Tutaq ki, $X$ metrik fəzasında $A$ və $B$ çoxluqları verilmişdir. Əgər $\overline{A} \supset B$ şərti ödənərsə, $A$ çoxluğuna $B$ çoxluğunda sıx çoxluq deyilir. Bütöv $X$ fəzasında sıx olan, yəni $\overline{A} = X$ şərtini ödəyən $A$ çoxluğu hər yerdə sıx çoxluq, $\interior \overline{A} = \varnothing$ şərtini ödəyən $A$ çoxluğu isə heç yerdə sıx olmayan çoxluq adlanır. Əgər $X$ metrik fəzasında hər yerdə sıx hesabi çoxluq tapmaq olarsa, belə metrik fəzaya separabel metrik fəza deyilir.

Nümunə. $\bbQ$ rasional ədədlər çoxluğu $\bbR$ metrik fəzasında hər yerdə sıx hesabi çoxluqdur, ona görə də $\bbR$ separabel metrik fəzadır.