Metrik fəzanın tamamlanması

$\newcommand{\bbN}{\mathbb{N}}$

Tutaq ki, $X$ və $\widetilde{X}$ metrik fəzalardır və $\widetilde{X}$ fəzası tamdır. Əgər $\widetilde{X}$ metrik fəzasında hər yerdə sıx və $X$ metrik fəzasına izometrik olan $X'$ altçoxluğu varsa, onda $\widetilde{X}$ tam metrik fəzası $X$ metrik fəzasının tamamlanması adlanır.

Teorem. Hər bir $X$ metrik fəzasının tamamlanması var və bu tamamlanma $X$ metrik fəzasının izometrik obrazının nöqtələrini tərpənməz saxlayan izometriya dəqiqliyi ilə yeganədir.
İsbatı. $X$ metrik fəzasının elementlərindən ibarət bütün fundamental ardıcıllıqlar çoxluğuna baxaq. Bu çoxluqdan götürülmüş $\{x_n\}$ və $\{x_n'\}$ fundamental ardıcıllıqları
$$\lim_{n \to \infty} \rho(x_n, x_n') = 0$$
şərtini ödədikdə onlara ekvivalent ardıcıllıqlar deyəcəyik. Onda bütün fundamental ardıcıllıqlar çoxluğu elə siniflərə ayrılmış olur ki, eyni sinfə düşən ixtiyari iki ardıcıllıq ekvivalentdir, müxtəlif siniflərə düşən iki ardıcıllıq isə ekvivalent deyil. Elementləri bu cür siniflərdən ibarət olan çoxluğu $\widetilde{X}$ ilə işarə edək. Qurduğumuz $\widetilde{X}$ çoxluğunun $\widetilde{x}$ və $\widetilde{y}$ elementləri (yəni fundamental ardıcıllıqlar sinifləri) arasındakı məsafəni təyin etmək üçün bu siniflərin hərəsindən bir $\{x_n\}$ və $\{y_n\}$ ardıcıllıqları seçərək
$$\rho_{\widetilde{X}}(\widetilde{x}, \widetilde{y}) := \lim_{n \to \infty} \rho(x, y)$$
qəbul edək.

Çalışma. İxtiyari $\widetilde{x}$ və $\widetilde{y}$ sinifləri üçün $\rho_{\widetilde{X}}(\widetilde{x}, \widetilde{y})$ ədədi təyin olunmuşdur və bu siniflərdən məhz hansı ardıcıllıqların seçilməsindən asılı deyil.

Çalışma. Təyin etdiyimiz $\rho_{\widetilde{X}}$ inikası metrikanın bütün aksiomlarını ödəyir.

Hər bir $x \in X$ elementi üçün
$$x, x, x, \ldots$$
ardıcıllığını özündə saxlayan sinif yalnız və yalnız $X$ metrik fəzasında $x$ elementinə yığılan ardıcıllıqlardan ibarətdir. $\widetilde{X}$ metrik fəzasının bütün belə siniflərdən ibarət altçoxluğunu $X'$ ilə işarə edək. Onda $X'$ və $X$ izometrik metrik fəzalardır.

$X'$ çoxluğunun $\widetilde{X}$ fəzasında hər yerdə sıx olduğunu göstərmək üçün ixtiyari $\widetilde{x} \in \widetilde{X}$ sinfi üçün $X'$ çoxluğundakı siniflərdən ibarət və $\rho_{\widetilde{X}}$ metrikasına nəzərən $\widetilde{x}$ sinfinə yığılan ardıcıllığın qurulması kifayətdir. Bunun üçün isə $\widetilde{x}$ sinfini təmsil edən hər hansı $\{x_n\}$ ardıcıllığını seçək və bu sinfə yığılan ardıcıllığın $n$-ci həddi olaraq $X'$ çoxluğunda $x_n$ elementinə uyğun gələn elementi götürək.

$\widetilde{X}$ metrik fəzasının tam olduğunu göstərmək üçün fərz edək ki, bu fəzada hər hansı $\{\widetilde{x}_n\}$ fundamental ardıcıllığı verilmişdir. Onda $X'$ çoxluğunun $\widetilde{X}$ fəzasında hər yerdə sıx olmasına əsasən hər bir $n \in \bbN$ ədədi üçün elə $x_n \in X$ elementi seçmək olar ki, bu elementin $X'$ çoxluğundakı obrazı $\{\widetilde{x}_n\}$ elementinin $1/n$-ətrafında olsun. Bu yolla qurulmuş $\{x_n\}$ ardıcıllığı $X$ fəzasında fundamentaldır və bu ardıcıllığı özündə saxlayan sinfi $\widetilde{x}$ ilə işarə etsək,
$$\rho_{\widetilde{X}}(\widetilde{x}_n, \widetilde{x}) \to 0$$
olduğunu alarıq.

İndi isə yeganəliyi göstərək. Tutaq ki, $\widetilde{X}$ və $\widetilde{Y}$ tam metrik fəzaları $X$ fəzasının tamamlanmalarıdır. Bu fəzalarda $X$ fəzasına izometrik olan çoxluqları, uyğun olaraq, $X'$ və $Y'$ ilə işarə edək. Hər bir $x \in X'$ elementinə ($X$ fəzası ilə izometriyaya əsasən) $Y'$ çoxluğunda uyğun gələn $y$ elementini qarşı qoyaq:
$$\varphi(x) := y.$$
$X'$ çoxluğunun $\widetilde{X}$ fəzasında hər yerdə sıx olmasından istifadə edərək, ixtiyari $\widetilde{x} \in \widetilde{X}$ elementi üçün ona yığılan və $X'$ çoxluğunun elementlərindən ibarət olan $\{x_n\}$ ardıcıllığını götürək və bu ardıcıllığın elementlərinə $Y'$ çoxluğunda uyğun gələn elementlərdən ibarət ardıcıllığı $\{y_n\}$ ilə işarə edək. İzometriyaya və $\widetilde{Y}$ fəzasının tam olmasına əsasən bu ardıcıllıq müəyyən $\widetilde{y} \in \widetilde{Y}$ elementinə yığılır. Ona görə də
$$\varphi(\widetilde{x}) := \widetilde{y}$$
qəbul edə bilərik. Hər bir $\widetilde{x}$ elementi üçün bu qayda ilə seçilmiş $\widetilde{y}$ elementi məhz hansı $\{x_n\}$ ardıcıllığının götürülməsindən asılı deyil. Nəhayət, $\varphi$ izometrik inikasdır, çünki
$$\rho_{\widetilde{X}}(\widetilde{x}', \widetilde{x}'') = \lim_{n \to \infty} \rho_{\widetilde{X}}(x_n', x_n'') = \lim_{n \to \infty} \rho_{\widetilde{Y}}(y_n', y_n'') = \rho_{\widetilde{Y}}(\widetilde{y}', \widetilde{y}'') = \rho_{\widetilde{Y}}(\varphi(\widetilde{x}'), \varphi(\widetilde{x}'')).$$
$\square$