Vektorqiymətli qüvvət sıraları

$\newcommand{\bbC}{\mathbb{C}}$
$\newcommand{\bbN}{\mathbb{N}}$

Tutaq ki, $L$ Banax fəzasında
$$\sum_{n=0}^{\infty} (\lambda-\lambda_0)^n x_n$$
qüvvət sırası verilmişdir, burada $x_n \in L$, $n \in \bbN$. Bu sıranın yığılmasını araşdırmaq üçün $\mu := \lambda-\lambda_0$ işarə edib
$$\sum_{n=0}^{\infty} \mu^n x_n$$
sırasını araşdırmaq kifayətdir. Aydındır ki, sonuncu sıra $\mu = 0$ nöqtəsində yığılır.

Teorem. (Abel) Əgər
$$\sum_{n=0}^{\infty} \mu^n x_n$$
sırası $\mu_0 \ne 0$ nöqtəsində yığılırsa, onda bu sıra $|\mu| < |\mu_0|$ şərtini ödəyən ixtiyari $\mu$ nöqtəsində mütləq yığılır.
İsbatı. Tutaq ki,
$$\sum_{n=0}^{\infty} \mu_0^n x_n$$
sırası yığılır. Onda
$$\|\mu_0^n x_n\| \to 0, \quad n \to \infty$$
və buna görə də elə $M > 0$ ədədi var ki,
$$\|\mu_0^n x_n\| \le M, \quad n \in \bbN.$$
Sonuncu bərabərsizliyə əsasən
$$\|\mu^n x_n\| = \|\mu_0^n x_n\| \left\| \frac{\mu}{\mu_0} \right\|^n \le M \left\| \frac{\mu}{\mu_0} \right\|^n.$$
Ona görə də
$$\sum_{n=0}^{\infty} \mu^n x_n$$
sırası mütləq yığılır.
$\square$

Əgər
$$R := \sup \{ |\mu| \colon \sum_{n=0}^{\infty} \mu^n x_n \text{ sırası } \mu \text{ nöqtəsində yığılır} \}$$
işarə etsək, Abel teoreminə əsasən
$$\sum_{n=0}^{\infty} \mu^n x_n$$
qüvvət sırası $U_R(0)$ açıq dairəsində yığılır, $\overline{U}_R(0)$ qapalı dairəsindən kənarda isə dağılır. Burada, xüsusi halda, $U_{\infty}(0) = \bbC$. Buna əsaslanaraq, $R$ ədədinə həmin qüvvət sırasının yığılma radiusu deyilir.

Teorem. (Koşi–Adamar düsturu)
$$R = \frac{1}{\varlimsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\|x_n\|}}.$$
İsbatı. Əvvəlcə $0 < \varlimsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\|x_n\|} < \infty$ halına baxaq. Əgər
$$|\mu| < \frac{1}{\varlimsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\|x_n\|}}$$
olarsa, onda müsbət hədli ədədi sıralar üçün Koşi əlamətinə əsasən
$$\varlimsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\|\mu^n x_n\|} = |\mu| \varlimsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\|x_n\|} < 1$$
bərabərsizliyindən çıxır ki, $\mu$ nöqtəsində
$$\sum_{n=0}^{\infty} \|\mu^n x_n\|$$
ədədi sırası və deməli həm də
$$\sum_{n=0}^{\infty} \mu^n x_n$$
sırası yığılır. Ona görə də,
$$R \ge \frac{1}{\varlimsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\|x_n\|}}.$$
Əgər
$$|\mu| > \frac{1}{\varlimsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\|x_n\|}}$$
olarsa, onda
$$\|\mu^n x_n\| \nrightarrow 0, \quad n \to \infty$$
olduğu üçün $\mu$ nöqtəsində bizim qüvvət sırası yığılmır. Bu isə o deməkdir ki,
$$R \le \frac{1}{\varlimsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\|x_n\|}}.$$

İndi isə $\varlimsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\|x_n\|} = 0$ olsun. Onda ixtiyari $\mu \in \bbC$ üçün
$$\varlimsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\|\mu^n x_n\|} = 0 < 1$$
bərabərsizliyinə əsasən
$$\sum_{n=0}^{\infty} \mu^n x_n$$
sırası yığılır. Buna görə də, $R = \infty$.

Nəhayət, $\varlimsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\|x_n\|} = \infty$ halında ixtiyari $\mu \in \bbC$ üçün
$$\|\mu^n x_n\| \nrightarrow 0, \quad n \to \infty.$$
Yəni $R = 0$.
$\square$