Vektorqiymətli qüvvət sıraları
\newcommand{\bbC}{\mathbb{C}}
\newcommand{\bbN}{\mathbb{N}}
Tutaq ki, L Banax fəzasında
\sum_{n=0}^{\infty} (\lambda-\lambda_0)^n x_n
qüvvət sırası verilmişdir, burada x_n \in L, n \in \bbN. Bu sıranın yığılmasını araşdırmaq üçün \mu := \lambda-\lambda_0 işarə edib
\sum_{n=0}^{\infty} \mu^n x_n
sırasını araşdırmaq kifayətdir. Aydındır ki, sonuncu sıra \mu = 0 nöqtəsində yığılır.
Teorem. (Abel) Əgər
\sum_{n=0}^{\infty} \mu^n x_n
sırası \mu_0 \ne 0 nöqtəsində yığılırsa, onda bu sıra |\mu| < |\mu_0| şərtini ödəyən ixtiyari \mu nöqtəsində mütləq yığılır.
İsbatı. Tutaq ki,
\sum_{n=0}^{\infty} \mu_0^n x_n
sırası yığılır. Onda
\|\mu_0^n x_n\| \to 0, \quad n \to \infty
və buna görə də elə M > 0 ədədi var ki,
\|\mu_0^n x_n\| \le M, \quad n \in \bbN.
Sonuncu bərabərsizliyə əsasən
\|\mu^n x_n\| = \|\mu_0^n x_n\| \left\| \frac{\mu}{\mu_0} \right\|^n \le M \left\| \frac{\mu}{\mu_0} \right\|^n.
Ona görə də
\sum_{n=0}^{\infty} \mu^n x_n
sırası mütləq yığılır.
\square
Əgər
R := \sup \{ |\mu| \colon \sum_{n=0}^{\infty} \mu^n x_n \text{ sırası } \mu \text{ nöqtəsində yığılır} \}
işarə etsək, Abel teoreminə əsasən
\sum_{n=0}^{\infty} \mu^n x_n
qüvvət sırası U_R(0) açıq dairəsində yığılır, \overline{U}_R(0) qapalı dairəsindən kənarda isə dağılır. Burada, xüsusi halda, U_{\infty}(0) = \bbC. Buna əsaslanaraq, R ədədinə həmin qüvvət sırasının yığılma radiusu deyilir.
Teorem. (Koşi–Adamar düsturu)
R = \frac{1}{\varlimsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\|x_n\|}}.
İsbatı. Əvvəlcə 0 < \varlimsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\|x_n\|} < \infty halına baxaq. Əgər
|\mu| < \frac{1}{\varlimsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\|x_n\|}}
olarsa, onda müsbət hədli ədədi sıralar üçün Koşi əlamətinə əsasən
\varlimsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\|\mu^n x_n\|} = |\mu| \varlimsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\|x_n\|} < 1
bərabərsizliyindən çıxır ki, \mu nöqtəsində
\sum_{n=0}^{\infty} \|\mu^n x_n\|
ədədi sırası və deməli həm də
\sum_{n=0}^{\infty} \mu^n x_n
sırası yığılır. Ona görə də,
R \ge \frac{1}{\varlimsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\|x_n\|}}.
Əgər
|\mu| > \frac{1}{\varlimsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\|x_n\|}}
olarsa, onda
\|\mu^n x_n\| \nrightarrow 0, \quad n \to \infty
olduğu üçün \mu nöqtəsində bizim qüvvət sırası yığılmır. Bu isə o deməkdir ki,
R \le \frac{1}{\varlimsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\|x_n\|}}.
İndi isə \varlimsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\|x_n\|} = 0 olsun. Onda ixtiyari \mu \in \bbC üçün
\varlimsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\|\mu^n x_n\|} = 0 < 1
bərabərsizliyinə əsasən
\sum_{n=0}^{\infty} \mu^n x_n
sırası yığılır. Buna görə də, R = \infty.
Nəhayət, \varlimsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\|x_n\|} = \infty halında ixtiyari \mu \in \bbC üçün
\|\mu^n x_n\| \nrightarrow 0, \quad n \to \infty.
Yəni R = 0.
\square