Processing math: 0%
Now you are in the subtree of Lecture Notes public knowledge tree. 

Volterra tipli inteqral tənliyin həllinin varlığı və yeganəliyi

\newcommand{\bbN}{\mathbb{N}}

Volterra tipli ikinci növ inteqral tənliyə baxaq:
f(x) - \int_a^x K(x,t)f(t)dt = \varphi(x), \quad x \in [a,b],
burada K(x,t) nüvəsi [a,b] \times [a,b] kvadratında, \varphi(x) isə [a,b] parçasında kəsilməz funksiyalardır. Bu tənliyi
f(x) = \int_a^x K(x,t)f(t)dt + \varphi(x), \quad x \in [a,b],
şəklində yazdıqdan sonra C[a,b] metrik fəzasında təsir edən
Af(x) := \int_a^x K(x,t)f(t)dt + \varphi(x)
inikası təyin etsək görərik ki, inteqral tənliyin həlləri A operatorunun tərpənməz nöqtələri ilə üst-üstə düşür.

İxtiyari f, g \in C[a,b] funksiyaları və x \in [a,b] nöqtəsi üçün yaza bilərik:
|Af(x) - Ag(x)| = \left| \int_a^x K(x,t)(f(t)-g(t))dt \right| \le M (x-a) \|f-g\|_{C[a,b]},
burada
M := \max_{\substack{x \in [a,b] \\ t \in [a,b]}} |K(x,t)|.
Eyni qayda ilə,
|A^2 f(x) - A^2 g(x)| = \left| \int_a^x K(x,t)(Af(t)-Ag(t))dt \right| \le M^2 \frac{(x-a)^2}{2} \|f-g\|_{C[a,b]}
və ümumiyyətlə hər bir n \in \bbN üçün
|A^n f(x) - A^n g(x)| = \left| \int_a^x K(x,t)(A^{n-1}f(t)-A^{n-1}g(t))dt \right| \le M^n \frac{(x-a)^n}{n!} \|f-g\|_{C[a,b]}.
Bu bərabərsizlikdən çıxır ki,
\|A^n f - A^n g\|_{C[a,b]} \le \frac{(M(b-a))^n}{n!} \|f-g\|_{C[a,b]}.
Onda
\lim_{n \to \infty} \frac{(M(b-a))^n}{n!} = 0
olduğu üçün elə n \in \bbN tapa bilərik ki,
\frac{(M(b-a))^n}{n!} < 1
şərti ödənsin, başqa sözlə desək, A^n sıxan inikas olsun. Sıxan inikas prinsipindən çıxan nəticəyə əsasən A inikasının yeganə tərpənməz nöqtəsi var. Başqa sözlə desək, Volterra tipli ikinci növ inteqral tənliyin həlli var və bu həll yeganədir.