Kəsilməz və məhdud operatorlar
Tutaq ki, L və ˜L normalı fəzalardır və A:L→˜L xətti operatoru bütün L fəzasında təyin olunmuşdur. Hər bir normalı fəza həm də metrik fəza olduğu üçün, metrik fəzalar arasında təsir edən inikaslar üçün daxil etdiyimiz kəsilməzlik anlayışını A operatoruna da aid etmək olar. Bu tərifə əsasən, əgər istənilən ϵ>0 ədədi üçün elə δ>0 ədədi tapmaq olarsa ki, ‖x−x0‖L<δ şərtini ödəyən bütün x∈L elementləri üçün ‖Ax−Ax0‖˜L<ϵ bərabərsizliyi ödənsin, onda A xətti operatoru x0∈L nöqtəsində kəsilməz operator adlanır.
Əgər elə C>0 ədədi tapmaq olarsa ki, bütün x∈L elementləri üçün ‖Ax‖˜L≤C‖x‖L şərti ödənsin, onda deyirlər ki, A:L→˜L xətti operatoru məhduddur.
Çalışma. Tutaq ki, A:L→˜L xətti operatordur. Onda aşağıdakı şərtlər ekvivalentdir:
(i) A operatoru L normalı fəzasının bütün nöqtələrində kəsilməzdir;
(ii) A operatoru 0L nöqtəsində kəsilməzdir;
(iii) A operatoru məhduddur.
Nümunə. C[a,b] normalı fəzasında δc:x(t)↦x(c) (burada c∈[a,b]) ifadəsi ilə təyin olunmuş xətti funksional məhduddur, çünki
‖δc(x)‖C=|x(c)|≤maxt∈[a,b]|x(t)|=‖x‖C[a,b].
Tutaq ki, A:L→˜L məhdud xətti operatordur. Onda
‖A‖:=sup‖x‖L≤1‖Ax‖˜L
ədədinə A operatorunun norması deyilir.
Çalışma. Hər bir A:L→˜L məhdud xətti operatoru üçün
‖A‖=sup‖x‖L=1‖Ax‖˜L=supx≠0L‖Ax‖˜L‖x‖L.
L və ˜L normalı fəzaları arasında təsir edən A və B xətti operatorlarının cəmini (A+B)x:=Ax+Bx,
A operatorunun α∈C ədədinə hasilini isə (αA)x:=α(Ax) ifadəsi ilə təyin etsək, bu əməllər xətti fəzanın tərifindəki bütün aksiomları ödəyəcək. Bundan əlavə,
‖A+B‖=sup‖x‖L≤1‖Ax+Bx‖˜L≤sup‖x‖L≤1(‖Ax‖˜L+‖Bx‖˜L)≤sup‖x‖L≤1‖Ax‖˜L+sup‖x‖L≤1‖Bx‖˜L=‖A‖+‖B‖
və
‖αA‖=sup‖x‖L≤1‖αAx‖˜L=|α|sup‖x‖L≤1‖Ax‖˜L=|α|‖A‖
münasibətlərindən çıxır ki, L normalı fəzasından ˜L normalı fəzasına təsir edən bütün məhdud xətti operatorlar çoxluğu normalı fəzadır. Bu normalı fəzanı B(L,˜L) ilə işarə edəcəyik. Xüsusi halda, L və ˜L fəzaları üst-üstə düşdükdə B(L):=B(L,L) işarələməsindən də istifadə edəcəyik.
Teorem. Əgər ˜L normalı fəzası tamdırsa, onda B(L,˜L) da tam fəzadır.
İsbatı. Fərz edək ki, {An} ardıcıllığı B(L,˜L) fəzasında fundamentaldır:
limn→∞‖Am−An‖B(L,˜L)=0.
Göstərək ki, elə A∈B(L,˜L) operatoru var ki, An→A. Hər bir x∈L elementi üçün {Anx} ardıcıllığı ˜L fəzasında fundamental olar və fəza tam olduğu üçün müəyyən z∈˜L elementinə yığılar. Bu elementi A operatorunun x nöqtəsindəki qiyməti kimi götürək: Ax:=z. Onda
A(αx+βy)=limn→∞An(αx+βy)=limn→∞(αAnx+βAny)=αlimn→∞Anx+βlimn→∞Any=αAx+βAy
olduğu üçün A xətti operatordur. Hər bir fundamental ardıcıllıq məhdud olduğu üçün, elə C>0 ədədi var ki,
‖An‖≤C,n=1,2,….
Onda
‖Anx‖˜L≤‖An‖‖x‖L≤C,‖x‖L≤1, n=1,2,…
olduğu üçün
‖Ax‖˜L=limn→∞‖Anx‖˜L≤C
olar, yəni A∈B(L,˜L). İstənilən ϵ>0 ədədi qeyd edib, fundamentallığın tərifindən istifadə etsək, elə Nϵ tapa bilərik ki, ‖x‖L≤1 şərtini ödəyən hər bir x∈L elementi və bütün m, n>Nϵ ədədləri üçün ‖Amx−Anx‖˜L≤‖Am−An‖‖x‖L<ϵ/2 olsun. Bu bərabərsizlikdə m→∞ olduqda limitə keçsək ‖Ax−Anx‖˜L≤ϵ/2 olduğunu alarıq. Beləliklə,
‖A−An‖=sup‖x‖L≤1‖Ax−Anx‖˜L≤ϵ/2<ϵ,n>Nϵ.
Bu isə o deməkdir ki,
limn→∞‖A−An‖=0.
◻