3.2. Свойства пределов, арифметические операции

Определение 3.12. Последовательность $\{ a_ n\}$ называется бесконечно малой, если $\lim \limits _{n\to \infty }a_ n = 0$.

Пишут: $a_ n = o(1)$.

Если $\{ a_ n\}$ ограничена, то пишут $a_ n = O(1)$.

Пример. $\left\{ \frac1n\right\}$ — бесконечно малая.

Лемма 3.2. $\lim \limits _{n\to \infty }a_ n = a \in \mathbb {R}\Leftrightarrow a_ n = a + o(1)$.

$\blacktriangle$ Рассмотрим $\{ \alpha _ n\}$, где $\alpha _ n = a_ n - a$. Тогда $\lim \limits _{n\to \infty }a_ n = a \Leftrightarrow$

$\forall \varepsilon > 0\ \exists N_\varepsilon \in \mathbb {R}\ \forall n > N_\varepsilon \colon |a_ n - a| < \varepsilon \Leftrightarrow$

$\forall \varepsilon > 0\ \exists N_\varepsilon \in \mathbb {R}\ \forall n > N_\varepsilon \colon |\alpha _ n - 0| < \varepsilon \Leftrightarrow \alpha _ n = o(1)$. $\blacksquare$

Лемма 3.3. Если $\{ \alpha _ n\} , \{ \beta _ n\}$ — бесконечно малые, $\{ \gamma _ n\}$ — ограниченная последовательность, то $\{ \alpha _ n \pm \beta _ n\} , \{ \alpha _ n \gamma _ n\} , \{ \alpha _ n \beta _ n\}$ — бесконечно малые.

$\blacktriangle$ 

1. Покажем, что $\alpha _ n \pm \beta _ n = o(1)$.

   Т.к. $\alpha _ n = o(1)$, то $\forall \varepsilon >0\ \exists N_\varepsilon '\ \forall n > N_\varepsilon '\colon |a_ n| < \frac\varepsilon 2$.

   Т.к. $\beta _ n = o(1)$, то $\forall \varepsilon >0\ \exists N_\varepsilon ''\ \forall n > N_\varepsilon ''\colon |\beta _ n| < \frac\varepsilon 2$.

   Положим $N_\varepsilon = \max \{ N_\varepsilon ', N_\varepsilon ''\}$, тогда $\forall n > N_\varepsilon \colon |\alpha _ n \pm \beta _ n| \leqslant |\alpha _ n| + |\beta _ n| < \varepsilon \Rightarrow \alpha _ n \pm \beta _ n = o(1)$.

2. Покажем, что $\alpha _ n \gamma _ n = o(1)$.

   Т.к $\gamma _ n = O(1)$, то $\exists c > 0\ \forall n \in \mathbb {N}\colon |\gamma _ n| \leqslant c$. Т.к. $\alpha _ n = o(1), \forall \varepsilon > 0\ \exists N_\varepsilon , n > N_\varepsilon \colon |\alpha _ n| < \frac\varepsilon c$.

   Тогда $\forall n > N_\varepsilon \colon |\gamma _ n \alpha _ n| < \varepsilon \Rightarrow \gamma _ n \alpha _ n = o(1)$.

3. Т.к. $\beta _ n = o(1)$, то по Т3.3 $\{ \beta _ n\}$ — ограничена $\Rightarrow$ по пункту (2) $\alpha _ n \beta _ n = o(1)$. $\blacksquare$

Теорема 3.8 (О пределе суммы, произведения, частного). Пусть $\lim \limits _{n\to \infty }a_ n = a\in \mathbb {R}$, $\lim \limits _{n\to \infty }b_ n = b\in \mathbb {R}$, тогда

1. $\lim \limits _{n\to \infty }(a_ n \pm b_ n) = a\pm b$.

2. $\lim \limits _{n\to \infty }(a_ n \cdot b_ n) = a\cdot b$.

3. Если $b \not= 0$, то $\lim \limits _{n\to \infty }\frac{a_ n}{b_ n} = \frac{a}{b}$.

$\blacktriangle$  По лемме 3.2 $a_ n = a + \alpha _ n$, где $\alpha _ n = o(1)$ , $b_ n = b + \beta _ n$, где $\beta _ n = o(1)$. Тогда

1. $(a_ n \pm b_ n) - (a \pm b) = (\alpha _ n \pm \beta _ n) = o(1)$ по Л3.3, следовательно, $\lim \limits _{n\to \infty }(a_ n \pm b_ n) = a \pm b$ по Л3.2.

2. $a_ n b_ n - ab = a\beta _ n + b\alpha _ n + \alpha _ n\beta _ n = o(1)$ по Л3.3, следовательно, $\lim \limits _{n\to \infty }a_ n b_ n = ab$ по Л3.2.

3. По Т3.2 об отделимости $\exists \varepsilon > 0\ \exists N \in \mathbb {R}\ \forall n > N\colon b_ n \notin B_\varepsilon (0) \Rightarrow \forall n > N\colon \left|\frac{1}{b_ n}\right| < \frac1\varepsilon$.

   Если имеются члены $b_ n = 0$, то конечное число членов $\left\{ \frac{a_ n}{b_ n} \right\}$ не определено $\Rightarrow$ по определению предела такой последовательности эти члены нужно доопределить, т.е. члены $b_ n = 0$ заменить на ненулевые. Поэтому можно считать, что все члены $b_ n \not= 0$.

   Положим $C = \max \{ \frac1\varepsilon , \frac1{|b_ n|}$, где $n \leqslant N\}$, тогда $\forall n \in \mathbb {N}\colon \left|\frac1{b_ n}\right| \leqslant C$, т.е. $\left\{ \frac1{b_ n}\right\}$ ограничена и, следовательно, $\frac1{b b_ n} = O(1)$. Имеем

   $$\frac{a_ n}{b_ n} - \frac{a}{b} = \frac{a_ n b - a b_ n}{b b_ n} = \frac{(a + \alpha _ n)b - a(b + \beta _ n)}{b b_ n} = (b \alpha _ n - a \beta _ n) \cdot \frac1{b b_ n} = o(1) \cdot O(1) = o(1)$$

   и, следовательно, $\lim \limits _{n\to \infty }\frac{a_ n}{b_ n} = \frac{a}{b}$ по Л3.2. $\blacksquare$

Замечание. Теорема 3.8 верна для $a, b\in \overline{\mathbb {R}}$ (с допустимыми операциями с $\pm \infty$).

Задача 2. Доказать.

Определение 3.13. Последовательность $\{ a_ n\}$ называется бесконечно большой, если

$\lim \limits _{n\to \infty }|a_ n| = +\infty$.

Задача 3. Выяснить связь между двумя условиями:

1. $\{ a_ n\}$ — бесконечно большая.

2. $\{ a_ n\}$ — неограничена.