Created almost 12 years ago, updated over 11 years ago
Числовые последовательности. Определение и терминология
Определение 3.1.Числовой последовательностью будем называть функцию $f\colon \mathbb {N}\rightarrow \mathbb {R}$. Если пара $(n, a) \in f$, то второй элемент будем называть $n$-м членом (элементом) и обозначать $a_ n$. При этом саму последовательность будем обозначать $\{ a_ n\} $ или $\{ a_ n\} _{n=1}^\infty $.
Замечание. Всюду в дальнейшем, если не указано обратного, последовательность обозначает числовую последовательность.
Определение 3.2. Последовательность $\{ a_ n\} $ называется постоянной, если $\forall n \in \mathbb {N}\colon a_ n = a_1$.
Определение 3.3. Последовательность $\{ a_ n\} $ называется ограниченной сверху (ограниченной снизу, ограниченной), если множество её значений $\{ x\in \mathbb {R}\colon x = a_ n, n \in \mathbb {N}\} $ ограничено сверху (ограниченно снизу, ограниченно).
Определение 3.4. Последовательность $\{ a_ n\} $ называется неограниченной (неограниченной снизу, неограниченной сверху), если $\{ a_ n\} $ не является ограниченной (ограниченной снизу, ограниченной сверху).
Введём обозначения:
$\sup \{ a_ n\} = \sup \{ x\in \mathbb {R}\colon x = a_ n, n \in \mathbb {N}\}$,
$\inf \{ a_ n\} = \inf \{ x\in \mathbb {R}\colon x = a_ n, n \in \mathbb {N}\} $.
Числовые последовательности. Определение и терминология
-------------------------------------------------------
**Определение 3.1.** *Числовой последовательностью* будем называть функцию $f\colon \mathbb {N}\rightarrow \mathbb {R}$. Если пара $(n, a) \in f$, то второй элемент будем называть $n$-м *членом (элементом)* и обозначать $a_ n$. При этом саму последовательность будем обозначать $\{ a_ n\} $ или $\{ a_ n\} _{n=1}^\infty $.
*Замечание.* Всюду в дальнейшем, если не указано обратного, последовательность обозначает числовую последовательность.
**Определение 3.2.** Последовательность $\{ a_ n\} $ называется *постоянной*, если $\forall n \in \mathbb {N}\colon a_ n = a_1$.
**Определение 3.3.** Последовательность $\{ a_ n\} $ называется *ограниченной сверху (ограниченной снизу, ограниченной)*, если множество её значений $\{ x\in \mathbb {R}\colon x = a_ n, n \in \mathbb {N}\} $ ограничено сверху (ограниченно снизу, ограниченно).
**Определение 3.4.** Последовательность $\{ a_ n\} $ называется *неограниченной (неограниченной снизу, неограниченной сверху)*, если $\{ a_ n\} $ не является ограниченной (ограниченной снизу, ограниченной сверху).
Введём обозначения:
$\sup \{ a_ n\} = \sup \{ x\in \mathbb {R}\colon x = a_ n, n \in \mathbb {N}\}$,
$\inf \{ a_ n\} = \inf \{ x\in \mathbb {R}\colon x = a_ n, n \in \mathbb {N}\} $.