3.2. Свойства пределов, арифметические операции
Определение 3.12. Последовательность {an} называется бесконечно малой, если limn→∞an=0.
Пишут: a_ n = o(1).
Если \{ a_ n\} ограничена, то пишут a_ n = O(1).
Пример. \left\{ \frac1n\right\} — бесконечно малая.
Лемма 3.2. \lim \limits _{n\to \infty }a_ n = a \in \mathbb {R}\Leftrightarrow a_ n = a + o(1).
\blacktriangle Рассмотрим \{ \alpha _ n\} , где \alpha _ n = a_ n - a. Тогда \lim \limits _{n\to \infty }a_ n = a \Leftrightarrow
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_\varepsilon \in \mathbb {R}\ \forall n > N_\varepsilon \colon |a_ n - a| < \varepsilon \Leftrightarrow
\forall \varepsilon > 0\ \exists N_\varepsilon \in \mathbb {R}\ \forall n > N_\varepsilon \colon |\alpha _ n - 0| < \varepsilon \Leftrightarrow \alpha _ n = o(1). \blacksquare
Лемма 3.3. Если \{ \alpha _ n\} , \{ \beta _ n\} — бесконечно малые, \{ \gamma _ n\} — ограниченная последовательность, то \{ \alpha _ n \pm \beta _ n\} , \{ \alpha _ n \gamma _ n\} , \{ \alpha _ n \beta _ n\} — бесконечно малые.
\blacktriangle
-
Покажем, что \alpha _ n \pm \beta _ n = o(1).
Т.к. \alpha _ n = o(1), то \forall \varepsilon >0\ \exists N_\varepsilon '\ \forall n > N_\varepsilon '\colon |a_ n| < \frac\varepsilon 2.
Т.к. \beta _ n = o(1), то \forall \varepsilon >0\ \exists N_\varepsilon ''\ \forall n > N_\varepsilon ''\colon |\beta _ n| < \frac\varepsilon 2.
Положим N_\varepsilon = \max \{ N_\varepsilon ', N_\varepsilon ''\} , тогда \forall n > N_\varepsilon \colon |\alpha _ n \pm \beta _ n| \leqslant |\alpha _ n| + |\beta _ n| < \varepsilon \Rightarrow \alpha _ n \pm \beta _ n = o(1).
-
Покажем, что \alpha _ n \gamma _ n = o(1).
Т.к \gamma _ n = O(1), то \exists c > 0\ \forall n \in \mathbb {N}\colon |\gamma _ n| \leqslant c. Т.к. \alpha _ n = o(1), \forall \varepsilon > 0\ \exists N_\varepsilon , n > N_\varepsilon \colon |\alpha _ n| < \frac\varepsilon c.
Тогда \forall n > N_\varepsilon \colon |\gamma _ n \alpha _ n| < \varepsilon \Rightarrow \gamma _ n \alpha _ n = o(1).
Т.к. \beta _ n = o(1), то по Т3.3 \{ \beta _ n\} — ограничена \Rightarrow по пункту (2) \alpha _ n \beta _ n = o(1). \blacksquare
Теорема 3.8 (О пределе суммы, произведения, частного). Пусть \lim \limits _{n\to \infty }a_ n = a\in \mathbb {R}, \lim \limits _{n\to \infty }b_ n = b\in \mathbb {R}, тогда
\lim \limits _{n\to \infty }(a_ n \pm b_ n) = a\pm b.
\lim \limits _{n\to \infty }(a_ n \cdot b_ n) = a\cdot b.
Если b \not= 0, то \lim \limits _{n\to \infty }\frac{a_ n}{b_ n} = \frac{a}{b}.
\blacktriangle По лемме 3.2 a_ n = a + \alpha _ n, где \alpha _ n = o(1) , b_ n = b + \beta _ n, где \beta _ n = o(1). Тогда
(a_ n \pm b_ n) - (a \pm b) = (\alpha _ n \pm \beta _ n) = o(1) по Л3.3, следовательно, \lim \limits _{n\to \infty }(a_ n \pm b_ n) = a \pm b по Л3.2.
a_ n b_ n - ab = a\beta _ n + b\alpha _ n + \alpha _ n\beta _ n = o(1) по Л3.3, следовательно, \lim \limits _{n\to \infty }a_ n b_ n = ab по Л3.2.
-
По Т3.2 об отделимости \exists \varepsilon > 0\ \exists N \in \mathbb {R}\ \forall n > N\colon b_ n \notin B_\varepsilon (0) \Rightarrow \forall n > N\colon \left|\frac{1}{b_ n}\right| < \frac1\varepsilon .
Если имеются члены b_ n = 0, то конечное число членов \left\{ \frac{a_ n}{b_ n} \right\} не определено \Rightarrow по определению предела такой последовательности эти члены нужно доопределить, т.е. члены b_ n = 0 заменить на ненулевые. Поэтому можно считать, что все члены b_ n \not= 0.
Положим C = \max \{ \frac1\varepsilon , \frac1{|b_ n|}, где n \leqslant N\} , тогда \forall n \in \mathbb {N}\colon \left|\frac1{b_ n}\right| \leqslant C, т.е. \left\{ \frac1{b_ n}\right\} ограничена и, следовательно, \frac1{b b_ n} = O(1). Имеем
\frac{a_ n}{b_ n} - \frac{a}{b} = \frac{a_ n b - a b_ n}{b b_ n} = \frac{(a + \alpha _ n)b - a(b + \beta _ n)}{b b_ n} = (b \alpha _ n - a \beta _ n) \cdot \frac1{b b_ n} = o(1) \cdot O(1) = o(1)
и, следовательно, \lim \limits _{n\to \infty }\frac{a_ n}{b_ n} = \frac{a}{b} по Л3.2. \blacksquare
Замечание. Теорема 3.8 верна для a, b\in \overline{\mathbb {R}} (с допустимыми операциями с \pm \infty ).
Задача 2. Доказать.
Определение 3.13. Последовательность \{ a_ n\} называется бесконечно большой, если
\lim \limits _{n\to \infty }|a_ n| = +\infty .
Задача 3. Выяснить связь между двумя условиями:
\{ a_ n\} — бесконечно большая.
\{ a_ n\} — неограничена.