5.7. Сравнение функций

Определение 5.6. Пусть $f\colon E\to \mathbb {R}, g\colon E\to \mathbb {R}, a$ — предельная точка множества $E$. Тогда:

1. $f = o(g)$ при $E\ni x\to a$, если $f(x) = \alpha (x) g(x)$ на $B_\Delta '(a)\cap E, \lim \limits _{x\to a} \alpha (x) = 0$.

2. $f = O(g)$ при $E\ni x\to a$, если $f(x) = \alpha (x) g(x)$ на $B_\Delta '(a)\cap E, \alpha \colon E\to \mathbb {R}$ — ограниченна при $E\ni x\to a$ ($\alpha (B_\Delta '(a)\cap E)$ — ограниченное множество).

3. $f\sim g$ при $E\ni x\to a$, если $f(x) = \alpha (x) g(x)$ на $B_\Delta '(a)\cap E, \lim \limits _{E\ni x\to a} \alpha (x) = 1$.

Если $a$ — внутренняя точка $E\cup \{ a\}$, то упоминания о множестве $E$ опускаются.

Замечание. Если $g(x) \neq 0$ на $B_\Delta '(a)\cap E$, то

$f = o(g)$ при $E\ni x\to a$ $\Leftrightarrow$ $\lim \limits _{\scriptscriptstyle {E\ni x\to a}} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$.

$f = O(g)$ при $E\ni x\to a$ $\Leftrightarrow$ $\exists C>0\ \exists \Delta >0\ \forall x\in B_\Delta '(a)\cap E\colon \left| \frac{f(x)}{g(x)} \right| < C$.

$f \sim g$ при $E\ni x\to a$ $\Leftrightarrow$ $\lim \limits _{\scriptscriptstyle {E\ni x\to a}} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$.

Примеры:

1. $x^ m = o(x^ n)$ при $x\to 0$ $\Leftrightarrow$ $m > n$.

   $x^ m = o(x^ n)$ при $x\to +\infty$ $\Leftrightarrow$ $m < n$.

2. $\left( \frac1x + \cos x \right) \sqrt {x} = O(\sqrt {x})$ при $x\to +\infty$.

3. $\frac{x^3-1}{x-1} \sim x^2$ при $x\to -\infty$.

Лемма 5.4.

1. a. $f\sim f$.

   b. $f\sim g \Rightarrow g \sim f$.

   c. $f\sim g, g\sim h \Rightarrow f\sim h$.

2. $f\sim g$ при $E\ni x\to a$ $\Leftrightarrow$ $f-g = o(g)$ при $E\ni x\to a$.

$\blacktriangle$ Пункт 1 вытекает из теоремы о пределе частного и произведения. Докажем пункт 2.

$f \sim g$ при $E\ni x\to a$ $\Leftrightarrow$ $f = \alpha g$ на $B_\Delta '(a)\cap E, \lim \limits _{E\ni x\to a} \alpha (x) = 1$ $\Leftrightarrow$

$f-g = (\alpha - 1) g$ на $B_\Delta '(a)\cap E,\ \ \lim \limits _{E\ni x\to a} \alpha (x) = 1$ $\Leftrightarrow$ $f-g = o(g), x\to a$ при $E\ni x\to a$. $\blacksquare$

Пример: При $x\to 0, x\sim \sin x \sim \arcsin x \sim \ln (1+x) \sim e^ x-1 \sim \mathop {\rm sh}\nolimits x$.

Замечание. $o(g)$ — класс функций, запись $f = o(g)$ при $E\ni x\to a$ следует понимать как $f\in o(g)$. Поэтому равенство $f = o(g)$ необратимо. Например, $x^2 = o(x)$, $x^3 = o(x)$ при $x\to 0$, но $x^2 \neq x^3$.

Лемма 5.5. При $E\ni x\to a$ справедливы следующие равенства:

1. $o(f) \pm o(f) = o(f)$.

2. $O(f) \pm O(f) = O(f)$.

3. $O(o(f)) = o(f)$.

4. $o(O(f)) = o(f)$.

5. $o(f) O(g) = o(fg)$.

6. $(o(f))^\alpha = o(f^\alpha )$.

$\blacktriangle$ Докажем 1. $h_1 = o(f), h_2 = o(f) \stackrel{?}{\Rightarrow }$ $h_1 \pm h_2 = o(f)$, $E\ni x\to a$.

$h_1 = \alpha _1 f, h_2 = \alpha _2 f$ на $B_\Delta '(a) \cap E$ и $\lim \limits _{\scriptscriptstyle E\ni x\to a} \alpha _1(x) = \lim \limits _{\scriptscriptstyle E\ni x\to a} \alpha _2(x) = 0 \Rightarrow$

$h_1 \pm h_2 = (\alpha _1 - \alpha _2)f$ на $B_\Delta '(a)$ и $\lim \limits _{\scriptscriptstyle E\ni x\to a} (\alpha _1 \pm \alpha _2) = 0$, т.е. $h_1\pm h_2 = o(f)$.

Докажем 3. $g=o(f), h = O(g) \stackrel{?}{\Rightarrow } h = o(f)$ при $E\ni x\to a$.

$g = \alpha _1 f, h = \gamma g$, где $\lim \limits _{\scriptscriptstyle E\ni x\to a} \alpha _1(x) = 0$, $\gamma$ — ограниченная функция при $E\ni x\to a$ $\Rightarrow$

$h = \alpha _1\gamma f$ и $\lim \limits _{\scriptscriptstyle E\ni x\to a} \alpha _1 \gamma (x) = 0$, т.е. $h = o(f)$. $\blacksquare$

Лемма 5.6. Пусть $f \sim f_1, g \sim g_1$ при $E\ni x\to a$. Тогда $\lim \limits _{\scriptscriptstyle E\ni x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ и $\lim \limits _{\scriptscriptstyle E\ni x\to a} \frac{f_1(x)}{g_1(x)}$ существуют или не существуют одновременно. В случае существования эти пределы равны.

$\blacktriangle$ Вытекает из представления $\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\alpha _1(x) f_1(x)}{\alpha _2(x) g_1(x)}$, $\lim \limits _{\scriptscriptstyle E\ni x\to a} \frac{\alpha _1(x)}{\alpha _2(x)} = 1$. $\blacksquare$

Пример: $\lim \limits _{x\to 0} \frac{\cos x - 1}{(e^ x - 1) \ln (1 + x)} = \frac{-\frac{x^2}{2}}{x^2} = -\frac12$.

$\blacktriangle$ $e^ x - 1 = x + o(x), ln(1 + x) = x + o(x)$ при $x\to 0$.

$g(x) = (e^ x - 1)\ln (1 + x) = (x + o(x))(x + o(x)) = x^2 + o(x^2)$ (по п.5).

$\lim \limits _{x\to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} = -2 \lim \limits _{x\to 0} \frac{\sin ^2 \frac{x}{2}}{x^2} = -2\lim \frac{\frac{x}{2} \frac{x}{2}}{x^2} = -\frac12$.

$f(x) = \cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$. $\blacksquare$

Замечание. если $f\sim f_1$ и $g \sim g_1$ при $E\ni x\to a$ не следует $f + g \sim f_1 + g_1(?)$.