Processing math: 25%
Page preview panel
ON OFF

This is the graph of pages.

All pages ("nodes") in Knowen belong to a directed acyclic graph: more general nodes are to the left (upstream), and more specific to the right (downstream).

Hover over a node to see the node preview; click to select a specific node; mouse scroll to zoom; click and drag to move.

Now you are in the subtree of Математический анализ project. 

1.7. Аксиоматика множества действительных чисел

Определение 1.1. Непустое множество R называется множеством действительных (вещественных) чисел, если на нём заданы операции сложения (+:R×RR),
умножения (×:R×RR) и отношения порядка, удовлетворяющее следующим аксиомам:

  1. a,bR:a+b=b+a.

  2. a,bR:(a+b)+c=a+(b+c).

  3. 0R aR:a+0=a.

  4. aR (a)R:a+(a)=0.

  5. a,bR:ab=ba.

  6. a,b,cR:(ab)c=a(bc).

  7. 1R{0} aR:a1=a.

  8. aR{0} 1aR:a1a=1.

  9. a,b,cR:(a+b)c=ac+bc.

  10. a,bR:a.

  11. \forall a, b \in \mathbb {R}\colon (a \leqslant b \land b \leqslant a) \Rightarrow a = b.

  12. \forall a, b, c \in \mathbb {R}\colon (a \leqslant b \land b \leqslant c) \Rightarrow a \leqslant c.

  13. \forall a, b, c \in \mathbb {R}\colon (a \leqslant b \Rightarrow a + c \leqslant b + c).

  14. \forall a, b, c \in \mathbb {R}, c \geqslant 0 \colon (a \leqslant b \Rightarrow ac \leqslant bc).

  15. (Аксиома непрерывности) Пусть A и B такие непустые подмножества \mathbb {R}, что

    \forall a \in A, b \in B\colon a\leqslant b. Тогда \exists c \in \mathbb {R}\ \forall a \in A, b \in B\colon a \leqslant c \leqslant b.

Замечание. a \leqslant b \Leftrightarrow b \geqslant a. a \leqslant b при a \neq b \Leftrightarrow a < b или b > a.

Некоторые следствия:

  1. В \mathbb {R} существует единственный 0.

    \blacktriangle   Пусть \exists 0_1, 0_2. Тогда 0_1 = 0_1 + 0_2 = 0_2. \blacksquare

  2. \forall a \in \mathbb {R}\colon a\cdot 0 = 0.

    \blacktriangle   a0 = a(0 + 0) = a0 + a0.

    a0 - a0 = a0 + (a0 - a0).

    0 = a0. \blacksquare

  3. \forall a\in \mathbb {R}\colon (-1)(-a) = a.

    \blacktriangle   (-1)(-a) = -(-a).

    (-a) - (-a) = 0.

    -a + a = 0 \Rightarrow a = -(-a). \blacksquare

  4. 0 < 1.

    \blacktriangle   Пусть 0 \geqslant 1 \Rightarrow (-1) + 0 \geqslant 1 + (-1) \Rightarrow -1 \geqslant 0 \Rightarrow (-1)(-1) \geqslant 0(-1) \Leftrightarrow 1 \geqslant 0 !!! \blacksquare