1.7. Аксиоматика множества действительных чисел
Определение 1.1. Непустое множество R называется множеством действительных (вещественных) чисел, если на нём заданы операции сложения (+:R×R→R),
умножения (×:R×R→R) и отношения порядка, удовлетворяющее следующим аксиомам:
∀a,b∈R:a+b=b+a.
∀a,b∈R:(a+b)+c=a+(b+c).
∃0∈R ∀a∈R:a+0=a.
∀a∈R ∃(−a)∈R:a+(−a)=0.
∀a,b∈R:ab=ba.
∀a,b,c∈R:(ab)c=a(bc).
∃1∈R∖{0} ∀a∈R:a⋅1=a.
∀a∈R∖{0} ∃1a∈R:a⋅1a=1.
∀a,b,c∈R:(a+b)c=ac+bc.
∀a,b∈R:a⩽.
\forall a, b \in \mathbb {R}\colon (a \leqslant b \land b \leqslant a) \Rightarrow a = b.
\forall a, b, c \in \mathbb {R}\colon (a \leqslant b \land b \leqslant c) \Rightarrow a \leqslant c.
\forall a, b, c \in \mathbb {R}\colon (a \leqslant b \Rightarrow a + c \leqslant b + c).
\forall a, b, c \in \mathbb {R}, c \geqslant 0 \colon (a \leqslant b \Rightarrow ac \leqslant bc).
-
(Аксиома непрерывности) Пусть A и B такие непустые подмножества \mathbb {R}, что
\forall a \in A, b \in B\colon a\leqslant b. Тогда \exists c \in \mathbb {R}\ \forall a \in A, b \in B\colon a \leqslant c \leqslant b.
Замечание. a \leqslant b \Leftrightarrow b \geqslant a. a \leqslant b при a \neq b \Leftrightarrow a < b или b > a.
Некоторые следствия:
-
В \mathbb {R} существует единственный 0.
\blacktriangle Пусть \exists 0_1, 0_2. Тогда 0_1 = 0_1 + 0_2 = 0_2. \blacksquare
-
\forall a \in \mathbb {R}\colon a\cdot 0 = 0.
\blacktriangle a0 = a(0 + 0) = a0 + a0.
a0 - a0 = a0 + (a0 - a0).
0 = a0. \blacksquare
-
\forall a\in \mathbb {R}\colon (-1)(-a) = a.
\blacktriangle (-1)(-a) = -(-a).
(-a) - (-a) = 0.
-a + a = 0 \Rightarrow a = -(-a). \blacksquare
-
0 < 1.
\blacktriangle Пусть 0 \geqslant 1 \Rightarrow (-1) + 0 \geqslant 1 + (-1) \Rightarrow -1 \geqslant 0 \Rightarrow (-1)(-1) \geqslant 0(-1) \Leftrightarrow 1 \geqslant 0 !!! \blacksquare