1.8. Примеры числовых множеств

1. $\mathbb {N}= \{ 1, 2, 3, \ldots \}$, где $2 = 1 + 1, 3 = 1 + 1 + 1, \ldots$

   Замечание. Из определения $\mathbb {N}$ вытекает принцип доказательства методом математической индукции.

   Если имеется набор утверждений $T(n)$ и если доказано а) утверждение $T(1)$ (база индукции) и б) то, что из справедливости $T(n)$ следует $T(n+1)$ (факт индукции), то $\forall n \in \mathbb {N}\colon T(n)$  — справедливо.

   $\blacktriangle$  $A = \{ n\in \mathbb {N}\colon T(n)\mbox{ — справедливо}\}$. Тогда $A\ni 1, (A\ni m \Rightarrow A\ni m+1) \Rightarrow A = \mathbb {N}$. $\blacksquare$

2. $\mathbb {Z}= \{ 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, \ldots \}$.

3. $\mathbb {Q}= \{ x\in \mathbb {R}\colon \exists m\in \mathbb {Z}, \exists n\in \mathbb {N}\ x = m \frac1n\}$.

4. Пусть $a, b\in \mathbb {R}, a\leqslant b$, тогда

   $[a, b] = \{ x\in \mathbb {R}\colon a \leqslant x \leqslant b\}$ — отрезок.

   $(a, b) = \{ x\in \mathbb {R}\colon a < x < b\}$ — интервал.

   $(a, b] = \{ x\in \mathbb {R}\colon a < x \leqslant b\}$ — полуинтервал.

   $[a, b) = \{ x\in \mathbb {R}\colon a \leqslant x < b\}$ — полуинтервал.

Определение 1.2. Модулем или абсолютной величиной числа называют

$|x| = \begin{cases} a, a\geqslant 0, \\-a, a < 0. \end{cases}$

Бесконечной десятичной дробью называют выражение вида $\pm a_0{,}a_1 a_2 \ldots$, где $a_0\in \mathbb {N}\cup \{ 0\}$, $a_ i\in \{ 0, 1, \ldots , 9\} , i\in \mathbb {N}$.

Будем считать, что бесконечные десятичные дроби $\pm a_0{,}a_1\ldots a_ n00000\ldots$ и
$\pm a_0, a_1\ldots (a_ n - 1)99999\ldots$ задают одно и то же число.

Определение 1.3. Пусть $a=\pm a_0{,}a_1 a_2\ldots$ и $b=\pm b_0{,}b_1 b_2\ldots$ — бесконечные десятичные дроби (без 9 в периоде). Тогда $a\leqslant b$, если

1. Перед $a_0$ стоит знак "$-$", а перед $b_0$ знак "$+$".

2. Перед $a_0$ и $b_0$ стоит знак "$+$"

   a) $a_0 \leqslant b_0$.

   b) $a_0 = b_0$ и $\exists n\in \mathbb {N}\colon a_1 = b_1, \ldots , a_{n-1} = b_{n-1}, a_ n < b_ n$.

   c) $\forall n\in \mathbb {N}\cup \{ 0\} \colon a_ n = b_ n$.

3. Перед $a_0$ и $b_0$ стоит знак "$-$" и при его замене на знак "$+$" выполнен пункт 2 для $-a$ и $-b$ ($-b \leqslant -a$).

Теорема 1.2. Пусть $A$ и $B$ непустые множества бесконечных десятичных дробей (без 9 в периоде), что $\forall a\in A, \forall b\in B\colon a\leqslant b$. Тогда $\exists$ бесконечная десятичная дробь (без 9 в периоде) $c$, что $\forall a\in A, \forall b\in B\colon a\leqslant c\leqslant b$.

$\blacktriangle$ Возможно только два случая:

1. $B\subset \{ x\colon x\geqslant 0\}\quad$ 2. $A \subset \{ x\colon x\leqslant 0\}$

Рассмотрим случай 1.

Пусть $c_0$ — минимальный элемент
$\{ b_0\colon b = b_0{,}b_1\ldots \in B\}$.

$c_1$ — минимальный элемент $\{ b_1\colon b = c_0{,}b_1\ldots \in B\}$.

……

Пусть $c_0, \ldots , c_ n$ определены, тогда $c_{n+1}$ — минимальный элемент
$\{ b_{n+1}\colon b=c_0{,}c_1c_1\ldots c_ n b_{n+1}\ldots \in B\}$.

По принципу матиндукции $\forall n\in B\cup \{ 0\}$ определено $c_ n$.

$c = c_0{,}c_1 c_2 \ldots c_ n\ldots$

Покажем, что в $c$ нет 9 в периоде.
Предположим, это не так, $c=c_0{,}c_1\ldots c_ n999\ldots$

Тогда по построению найдётся элемент из $B$, что выполнено следующее: $b=c_0{,}c_1\ldots c_ n999\ldots$, и это противоречит условию ($b$ содержит 9 в периоде).

$a_0 \leqslant c_0$, значит либо $a_0 < c_0$ и $a\leqslant c$, либо $a_0=b_0$ и $a_1 \leqslant b_1$ (поскольку $\exists b= c_0{,}c_1 b_2\ldots$).

Пусть $a_0=c_0, a_1=c_1, \ldots , a_ n=c_ n \Rightarrow a_{n+1} \leqslant b_{n+1}$, значит либо $a_{n+1} < c_{n+1}$ и $a\leqslant c$, либо $a_{n+1} = b_{n+1}$.

В результате на каком-то этапе будет установлено неравенство $a < c$ или будет установлено, что $\forall n\in \mathbb {N}\cup \{ 0\} \colon a_ n=c_ n$, значит $a=c \Rightarrow$ в любом случае будет установлено, что $a\leqslant c$. $\blacksquare$

Определение 1.4. $a\in E$ называется наибольшим (максимальным) элементом $E\subset \mathbb {R}$, если $\forall x\in E\colon x\leqslant a$. $a = \max E$.

Определение 1.5. $a\in E$ называется наименьшим (минимальным) элементом $E\subset \mathbb {R}$, если $\forall x\in E\colon x\geqslant a$. $a = \min E$.