1.7. Аксиоматика множества действительных чисел
Определение 1.1. Непустое множество R называется множеством действительных (вещественных) чисел, если на нём заданы операции сложения (+:R×R→R),
умножения (×:R×R→R) и отношения порядка, удовлетворяющее следующим аксиомам:
∀a,b∈R:a+b=b+a.
∀a,b∈R:(a+b)+c=a+(b+c).
∃0∈R ∀a∈R:a+0=a.
∀a∈R ∃(−a)∈R:a+(−a)=0.
∀a,b∈R:ab=ba.
∀a,b,c∈R:(ab)c=a(bc).
∃1∈R∖{0} ∀a∈R:a⋅1=a.
∀a∈R∖{0} ∃1a∈R:a⋅1a=1.
∀a,b,c∈R:(a+b)c=ac+bc.
∀a,b∈R:a⩽b∨b⩽a.
∀a,b∈R:(a⩽b∧b⩽a)⇒a=b.
∀a,b,c∈R:(a⩽b∧b⩽c)⇒a⩽c.
∀a,b,c∈R:(a⩽b⇒a+c⩽b+c).
∀a,b,c∈R,c⩾0:(a⩽b⇒ac⩽bc).
-
(Аксиома непрерывности) Пусть A и B такие непустые подмножества R, что
∀a∈A,b∈B:a⩽b. Тогда ∃c∈R ∀a∈A,b∈B:a⩽c⩽b.
Замечание. a⩽b⇔b⩾a. a⩽b при a≠b⇔a<b или b>a.
Некоторые следствия:
-
В R существует единственный 0.
▴ Пусть ∃01,02. Тогда 01=01+02=02. ◼
-
∀a∈R:a⋅0=0.
▴ a0=a(0+0)=a0+a0.
a0−a0=a0+(a0−a0).
0=a0. ◼
-
∀a∈R:(−1)(−a)=a.
▴ (−1)(−a)=−(−a).
(−a)−(−a)=0.
−a+a=0⇒a=−(−a). ◼
-
0<1.
▴ Пусть 0⩾1⇒(−1)+0⩾1+(−1)⇒−1⩾0⇒(−1)(−1)⩾0(−1)⇔1⩾0 !!! ◼