Processing math: 100%
Now you are in the subtree of Математический анализ project. 

1.7. Аксиоматика множества действительных чисел

Определение 1.1. Непустое множество R называется множеством действительных (вещественных) чисел, если на нём заданы операции сложения (+:R×RR),
умножения (×:R×RR) и отношения порядка, удовлетворяющее следующим аксиомам:

  1. a,bR:a+b=b+a.

  2. a,bR:(a+b)+c=a+(b+c).

  3. 0R aR:a+0=a.

  4. aR (a)R:a+(a)=0.

  5. a,bR:ab=ba.

  6. a,b,cR:(ab)c=a(bc).

  7. 1R{0} aR:a1=a.

  8. aR{0} 1aR:a1a=1.

  9. a,b,cR:(a+b)c=ac+bc.

  10. a,bR:abba.

  11. a,bR:(abba)a=b.

  12. a,b,cR:(abbc)ac.

  13. a,b,cR:(aba+cb+c).

  14. a,b,cR,c0:(abacbc).

  15. (Аксиома непрерывности) Пусть A и B такие непустые подмножества R, что

    aA,bB:ab. Тогда cR aA,bB:acb.

Замечание. abba. ab при aba<b или b>a.

Некоторые следствия:

  1. В R существует единственный 0.

      Пусть 01,02. Тогда 01=01+02=02.

  2. aR:a0=0.

      a0=a(0+0)=a0+a0.

    a0a0=a0+(a0a0).

    0=a0.

  3. aR:(1)(a)=a.

      (1)(a)=(a).

    (a)(a)=0.

    a+a=0a=(a).

  4. 0<1.

      Пусть 01(1)+01+(1)10(1)(1)0(1)10 !!!