9.2. Свойства операций сложения и умножения

1. $\forall z_1, z_2 \in \mathbb {C}\colon z_1 + z_2 = z_2 + z_1$.

2. $\forall z_1, z_2, z_3 \in \mathbb {C}\colon (z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3)$.

3. $\forall z \in \mathbb {C}\colon z + (0, 0) = z$.

4. $\forall z = (a, b) \in \mathbb {C}\ \exists (-z) = (-a, -b)\colon z + (-z) = (0, 0)$.

5. $\forall z_1, z_2 \in \mathbb {C}\colon z_1z_2 = z_2z_1$.

6. $\forall z_1, z_2, z_3 \in \mathbb {C}\colon (z_1 z_2) z_3 = z_1 (z_2 z_3)$.

7. $\forall z \in \mathbb {C}\colon z(1, 0) = z$.

8. $\forall z = (a, b) \in \mathbb {C}, z\neq (0,0) \exists z^{-1} = (\frac{a}{a^2+b^2}, -\frac{b}{a^2+b^2})\colon zz^{-1}= (1, 0)$.

9. $\forall z_1, z_2, z_3 \in \mathbb {C}\colon z_1(z_2 + z_3) = z_1 z_2 + z_1 z_3$.

$\blacktriangle$ 9) $z_ i = (a_ i, b_ i), i=1,2,3$.

$z_1(z_2 + z_3) = (a_1, b_1) (a_2+a_3, b_2+b_3) = (a_1(a_2+a_3) - b_1(b_2+b_3), b_1(a_2+a_3) + a_1(b_2+b_3))$.

$z_1 z_2 + z_1 z_3 = (a_1a_2 - b_1b_2, a_1b_2+b_1a_2) + (a_1a_3 - b_1b_3, a_1b_3 + b_1a_3) =$

$=(a_1(a_2 + a_3) - b_1 (b_2 + b_3), b_1(a_2+a_3) + a_1(b_2+b_3))$. $\blacksquare$

Обозначим $(0, 1)$ через $i$, из определения умножения, $i^2 = -1$. Т.к. $(a, b) = (a,0)+(0,b)$, то $z=(a,b)$ может быть записано в виде $z = a+ bi$ (алгебраическая форма).

$a =\mathop{\mathrm{Re}} z$ — вещественная часть $z$, $b = \mathop{\mathrm{Im}} z$ — мнимая часть $z$.

Определение 9.2. Модулем числа $z =a + bi$ называется действительное число $\sqrt {a^2 + b^2}$. Обозначение: $|z|$.

Определение 9.3. Комплексное число $\bar z = a-bi$ называется (комплексно) сопряженным к числу $z = a+bi$.

Лемма 9.1. $\forall z, z_1, z_2 \in \mathbb {C}\colon$

1. $\bar{\bar{z}} = z$.

2. $\bar z = z \Leftrightarrow z \in \mathbb {R}$.

3. $\overline{z_1 \pm z_2} = \overline{z_1} \pm \overline{z_2}$.

4. $\overline{z_1 z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}$.

5. $\overline{\left( \frac{z_1}{z_2} \right)} = \frac{ \overline{z_1} }{ \overline{z_2} }$.

6. $\bar z + z = 2\mathop{\mathrm{Re}} z$.

7. $\bar z z = |z|^2$.

$\blacktriangle$ 2) Пусть $z = a+bi$, тогда $\bar z = z \Leftrightarrow b = 0 \Leftrightarrow z = a \in \mathbb {R}$.

4) Пусть $z_1 = a + bi, z_2 = c + di$.

$\overline{z_1 z_2} = \overline{(a + bi)(c + di)} = (ac-bd) + (bc+ad)i$.

$\overline{z_1} \cdot \overline{z_2} = (a - bi)(c - di) = (ac - bd) + (bc+ad)i$.

5) Вытекает из п. 4 и того, что $\overline{z^{-1}} = \overline{z}^{-1}$. (Если $z = a+bi$ ....)

7) $z\bar z = (a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2 = |z|^2$. $\blacksquare$

Пусть на плоскости введена декартова с.к., тогда комплексное число $z=a+bi$ может быть обозначено точкой и вектором с координатами $(a, b)$. При векторном представлении сложению комплексных чисел сопоставляют сложение векторов по правилу параллелограмма.

(картинка)

Определение 9.4. Аргументом комплексного числа $z$ называется угол, который образует соответствующий вектор с положительным направлением оси $Ox$. Обозначение: $\arg x$.

Замечание. Аргумент ненулевого комплексного числа определён с точностью до $2\pi k, k\in \mathbb {Z}$, аргумент $0$ не определён.

Если $|z|$ — модуль $z$, $\varphi$ — аргумент $z\ (z\neq 0)$, где $z=x+iy$, то

$x = |z|\cos \varphi , y = |z|\sin \varphi$.

$z = |z|(\cos \varphi + i\sin \varphi )$ — тригонометрическая форма $z$.

Лемма 9.2. Если $z_1 = r_1(\cos \varphi _1 + i\sin \varphi _1), z_2 = r_2(\cos \varphi _2 + i\sin \varphi _2)$, то

$z_1 z_2 = r_1r_2 (\cos (\varphi _1 + \varphi _2) + i\sin (\varphi _1 + \varphi _2))$.

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} (\cos (\varphi _1-\varphi _2) + i\sin (\varphi _1-\varphi _2))$.

$\blacktriangle$ $z_1 z_2 = r_1(\cos \varphi _1 + i\sin \varphi _1)r_2(\cos \varphi _2 + i\sin \varphi _2) =$

$=r_1 r_2 [(\cos \varphi _1 \cos \varphi _2 - \sin \varphi _1 \sin \varphi _2) + i(\cos \varphi _1\sin \varphi _2 + \sin \varphi _1\cos \varphi _2)] =$ $r_1r_2 (\cos (\varphi _1 + \varphi _2) + i\sin (\varphi _1 + \varphi _2))$.

$z_2^{-1} = \frac{\bar z}{|z|^2} = \frac{r_2(\cos \varphi _2 -i\sin \varphi _2)}{r_2^2} = \frac1{r_2} (\cos \varphi _2 - i\sin \varphi _2)$.

Т.к. $\frac{z_1}{z_2} = z_1 z_2^{-1}$, то $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} (\cos (\varphi _1-\varphi _2) + i\sin (\varphi _1-\varphi _2))$. $\blacksquare$

Следствие (формула Муавра). Если $z = r(\cos \varphi +i\sin \varphi ), n\in \mathbb {N}$, то $z^ n = r^ n(\cos n\varphi +i\sin n\varphi )$.

Определение 9.5. Комплексное число $w$ называется корнем $n$-й степени из $z\in \mathbb {C}$ ($n\in \mathbb {N}$), если $w^ n = z$.

Лемма 9.3. Пусть $z = |z|(\cos \varphi + i\sin \varphi ), z\neq 0$, тогда существует ровно $n$ корней $n$-й степени из $z$, которые вычисляются по формуле

$w_ r = \sqrt [n]{|z|} (\cos \varphi _ r + i\sin \varphi _ r)$, $\varphi _ r = \frac{\varphi + 2\pi r}{n}$, $r=0,1,\ldots ,n-1$.

$\blacktriangle$ 1) Пусть $w = |w|(\cos \psi + i\sin \psi )$, тогда

$w^ n = z \Leftrightarrow |w|^ n(\cos n\psi + i\sin n\psi ) = |z|(\cos \varphi + i\sin \varphi ) \Leftrightarrow$ $|w|^ n = |z|, n\psi = \varphi + 2\pi k, k\in \mathbb {Z}$.

$w_ k = \sqrt [n]{|z|} (\cos \varphi _ k + i\sin \varphi _ k)$, где $\varphi _ k = \frac{\varphi + 2\pi k}{n}, k\in \mathbb {Z}$.

2) $k = nq + r, 0 \leqslant r \leqslant n-1$, тогда

$\varphi _ k = \frac{\varphi + 2\pi (nq+r)}{n} = \frac{\varphi +2\pi r}{n} + 2\pi q = \varphi _ r + 2\pi q, q\in \mathbb {Z}\Rightarrow$ $w_ k = w_ r$.

3) Покажем, что $w_ i \neq w_ j, i\neq j, i, j\in \{ 0, \ldots , n-1\}$.

Предположим, что $w_ i = w_ j$, тогда $\varphi _ i = \varphi _ j + 2\pi m, m\in \mathbb {Z}\Rightarrow$ $\frac{\varphi + 2\pi i}{n} = \frac{\varphi + 2\pi j}{n} + 2\pi m \Rightarrow i-j = nm$.

$i, j \in \{ 0, \ldots , n-1\} , i\neq j \Rightarrow |i-j| \leqslant n-1$. С другой стороны, $|i-j| = n|m| \geqslant n$, противоречие. $\blacksquare$

Замечание. Использовали равенство двух комплексных чисел в тригонометрической форме. $r_1(\cos \varphi _1 + i\sin \varphi _1) = r_2(\cos \varphi _2 + i\sin \varphi _2) \Leftrightarrow$ $r_1 = r_2$ и $\varphi _1 = \varphi _2 + 2\pi k, k\in \mathbb {Z}$.