9.3. Многочлены и их корни

Определение 9.6. Многочленом называется функция $P(z) = a_ n z^ n + \ldots + a_1 z + a_0, a_ k\in \mathbb {C}$.

Определение 9.7. Если $P$ ненулевой многочлен, тогда наибольший из номеров $n$, что $a_ n\neq 0$ называется степенью многочлена $P(z)$. Обозначение: $\deg P$.

Если $P(z)$ — нулевой многочлен, то $\deg P = -\infty$.

Свойства.

$\deg (P + Q) \leqslant \max \{ \deg P, \deg Q\}$.

$\deg (PQ) = \deg P + \deg Q$.

Теорема 9.1 (о делении с остатком). Пусть $P, Q$ — многочлены, $Q\neq 0$, $\deg P \geqslant \deg Q$, тогда $\exists ! T, R$ — многочлены, что:

1. $P = TQ + R$.

2. либо $R = 0$, либо $\deg R < \deg Q$.

$\blacktriangle$ 1) Пусть $P(z) = a_ nz^ n + \ldots + a_0$, $Q(z) = b_ m z^ m + \ldots + b_0$, $a_ n, b_ m \neq 0$.

Рассмотрим $P_1(z) = P(z) - \frac{a_ n}{b_ m}z^{n-m}Q(z) \Rightarrow \deg P_1 < \deg P$.

Если $\deg P_1 < \deg Q$, то $T(z) = \frac{a_ n}{b_ m}z^{n-m}, R(z) = P_1(z)$.

Если $\deg P_1 \geqslant \deg Q$, то поступаем аналогично с $P_1(z)$, получим $P_2(z), \deg P_2 < \deg P_1$ и т. д.

В конце концов получим $T(z) = \frac{a_ n}{b_ n}z^{n-m} + \ldots$, что $\deg (P - TQ) < \deg Q$, тогда $T(z)$ — неполное частное, $R(z) = P(z) - T(z)Q(z)$ — остаток.

2) Пусть $P = T_1 Q + R_1 = T_2 Q + R_2$, тогда $R_1 - R_2 = (T_1 - T_2)Q$.

С одной стороны, $\deg R_1 < \deg Q$, $\deg R_2 < \deg Q \Rightarrow$ $\deg (R_1 - R_2) < \deg Q$.

С другой стороны, $\deg (R_1 - R_2) = \deg (T_1 - T_2) + \deg Q \geqslant \deg Q$. Противоречие.

Следовательно, $T_1 = T_2, R_1 = R_2$. $\blacksquare$

Особое значение имеет деление многочлена на двучлен $z-a$.

$P(z) = (z-a)Q(z) + r, r\in \mathbb {C}$.

Т.к. $r = P(a)$, то верна

Теорема 9.2 (Безу). Многочлен $P(z)$ делится без остатка на $z-a \Leftrightarrow P(a) = 0$.

Теорема 9.3 (основная теорема алгебры (ОТА)). Для любого многочлена $P(z),$ $\deg P \geqslant 1$

$\exists x_ n \in \mathbb {C}\colon P(z_ n) = 0$.

Без доказательства.

Следствие. Для любого многочлена $P(z) = \sum \limits _{k=0}^ n a_ k z^ k, a_ n\neq 0, n\geqslant 0$ справедливо представление $P(z) = a_ n(z - z_1)\cdot \ldots \cdot (z-z_ n)$.

$\blacktriangle$ По ОТА $\exists z_1 \in \mathbb {C}\colon P(z_1) = 0 \stackrel{\mbox{Т. Безу}}{\Rightarrow }$ $P(z) = (z-z_1)P_1(z)$. Если $\deg P_1(z)= 0$, то разложение получено, если $\deg P_1 = n-1 > 0$, то по Т3 $\exists z_2\colon$ $P_1(z) = (z-z_2)P_2(z) \ldots \ldots$

За $n$ шагов получим $P(z) = \alpha (z-z_1)\cdot \ldots \cdot (z-z_ n)$. Сравнивая коэффициент перед $z^ n$ в левой и правой части получим, что $\alpha = a_ n$. $\blacksquare$

Определение 9.8. Число $a\in \mathbb {C}$ называется корнем многочлена $P(z)$ кратности $k$, если $P(z) = (z-a)^ k Q(z)$, где $Q(z)$ — такой многочлен, что $Q(a) \neq 0$ ($0 < k \leqslant \deg P$).

Лемма 9.4. Пусть $P(z) = \sum \limits _{k=0}^ n a_ k z^ k, a_ k\in \mathbb {R}$, тогда

1. $P(\bar z) = \overline{P(z)}\ \forall z\in \mathbb {C}$.

2. $a$ — корень $P(z)$ кратности $k$ $\Leftrightarrow$ $\bar a$ — корень $P(z)$ кратности $k$.

$\blacktriangle$ 1) Имеем $P(z) \sum \limits _{k=0}^ n a_ k (\bar z)^ k = \sum \limits _{k=0}^ n a_ k \overline{z^ k} = \sum \limits _{k=0}^ n \bar a_ k \overline{z^ k} = \overline{\sum \limits _{k=0}^ n a_ k z_ k} = \overline{P(z)}$.

2) Т.к. $\bar{\bar a} = a$, то достаточно доказать в одну сторону.

Пусть $P(z) = (z - a)^ k Q(z), Q(a) \neq 0$, тогда $P(\bar z) = \overline{P(z)} = \overline{(z-a)^ k Q(z)} = (\bar z - a)^ k \overline{Q}(\bar{z})\ \forall z\in \mathbb {C}\Rightarrow$ $P(z) = (\bar z - \bar a)^ k \overline{Q} (\bar z)$, $\overline{Q}(\bar a) = \overline{Q(a)} \neq 0 \Rightarrow$ $\bar a$ — корень $P(z)$ кратности $k$. $\blacksquare$

Теорема 9.4. Многочлен $P(x) = \sum \limits _{k=0}^ n d_ kx^ k, a_ n\neq 0, n\geqslant 1$, с действительными коэффициентами (действительный многочлен) единственным образом (с точностью до порядка сомножителей) может быть записан в виде

$P(x) = a_ n \prod \limits _{i=1}^ s (x-x_ i)^{k_ i} \prod \limits _{i=1}^ m (x^2 + p_ i x + q_ i)^{l_ i}$, где $k_ i,l_ i\in \mathbb {N}, x_ i$ — различные действительные числа, $(p_ i, q_ i)$ — различные пары действительных чисел таких, что $x^2 + p_ ix + q_ i$ не имеет действительных корней.

$\blacktriangle$ Пусть $x_1, \ldots , x_ s, \alpha _1, \ldots , \alpha _ m, \overline{\alpha _1}, \ldots , \overline{\alpha _ m}$ — все (различные) корни $P(x), x_ i\in \mathbb {R}, \alpha _ i\notin \mathbb {R}$.

Пусть $k_ i$ — кратность корня $x_ i$, $l_ i$ — кратность корня $\alpha _ i$ (и, следовательно, $\overline{\alpha _ i}$). Тогда $P(x) = a_ n (x-x_1)^{k_1}\cdot \ldots \cdot (x-x_ s)^{k_ s}[(x-\alpha _1)(x-\overline{\alpha _1})]^{l_1}\cdot \ldots \cdot [(x-\alpha _ m)(x-\overline{\alpha _ m})]^{l_ m}$.

Положим $x^2 + p_ i x + q_ i = (x - \alpha _ i)(x - \overline{\alpha _ i})$, $p_ i = (\alpha _ i + \overline{\alpha _ i}) = 2\mathop{\mathrm{Re}} \alpha _ i$, $q_ j = \alpha _ i\overline{\alpha _ i} = |\alpha _ i|^2$. $\blacksquare$