9.4. Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей

Будем рассматривать действительные дробно-рациональные функции $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ (рациональная дробь), где $P, Q$ — действительные многочлены, $\deg P \geqslant 0, \deg Q\geqslant 1$.

Определение 9.9. Рациональная дробь $\frac{P(x)}{Q(x)}$ называется правильной, если $\deg P < \deg Q$.

Лемма 9.5. Всякая рациональная дробь $\frac{P(x)}{Q(x)}$ единственным образом может быть разложена в сумму многочлена и правильной рациональной дроби с знаменателем $Q(x)$.

$\blacktriangle$ Пусть $\frac{P(x)}{Q(x)}$ — рациональная дробь. Поделим многочлен $P$ на $Q$ с остатком.

$P = TQ + R, \deg R < \deg Q \Rightarrow \frac{P(x)}{Q(x)} = T(x) + \frac{R(x)}{Q(x)}$ — правильная дробь.

Обратно, если $\frac{P}{Q} = T + \frac{R}{Q}$ и $\frac{R}{Q}$ — правильная дробь, тогда $P = TQ + R$ и $\deg R < \deg Q$, откуда по Т9.1 получаем единственность указанного представления. $\blacksquare$

Лемма 9.6. Если $\frac{P(x)}{Q(x)}$ — правильная дробь и $Q(x) = (x-x_0)^ k Q_1(x), Q_1(x_0)\neq 0$, то существуют единственные $A\in \mathbb {R}$ и действительный многочлен $P_1(x)$ такие, что

$\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{A}{(x-x_0)^ k} + \frac{P_1(x)}{(x-x_0)^{k-1}Q_1(x)}$, где последнее выражение — правильная дробь.

$\blacktriangle$ Для любого $A\in \mathbb {R}$ $\frac{P(x)}{Q(x)} - \frac{A}{(x-x_0)^ k} = \frac{P(x) - AQ_1(x)}{Q(X)}$, где выражение в правой части — правильная дробь.

Выражение $\frac{P(x) - AQ(x)}{Q(X)} = \frac{P_1(x)}{(x-x_0)^{k-1}Q_1(x)} \Leftrightarrow$ $P(x) - AQ(x) = P_1(x)(x-x_0) \leftrightarrow$ $x_0$ — корень $P(x) - AQ_1(x)$, откуда $A = \frac{P(x_0)}{Q_1(x_0)}$ (по теореме Безу). $\blacksquare$

Лемма 9.7. Если $\frac{P(x)}{Q(x)}$ — правильная дробь и $Q(x) = (x^2 + px + q)^ kQ_1(x)$, где $Q_1(x)$ не делится на $x^2 + px + q$, причём $x^2 + px + q$ не имеет действительных корней, то существуют единственные $A, B\in \mathbb {R}$ и действительный многочлен $P_1(x)$ такие, что

$\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{Ax + B}{(x^2 + px + q)^ k} + \frac{P_1}{(x^2 + px + q)^{k-1}Q_1(x)}$, где последнее выражение — правильная дробь

$\blacktriangle$ Пусть $x^2 + px + q = (x - \alpha )(x-\overline\alpha ), \alpha \notin \mathbb {R}$.

Для любых $A, B\in \mathbb {R}$ $\frac{P(x)}{Q(x)} - \frac{Ax+B}{(x^2 + px + q)^ k} = \frac{P(x) - (Ax+B)Q_1(x)}{Q(x)}$.

$\frac{P(x) - (Ax+B)Q_1(x)}{Q(x)} = \frac{P_1}{(x^2 + px + q)^{k-1}Q_1(x)} \Leftrightarrow$ $P(x) - (Ax+B)Q_1(x) = P_1(x)(x^2+px+q) \Leftrightarrow$ $\alpha , \overline\alpha$ — корни многочлена $P(x) - (Ax+B)Q_1(x)$. Тогда $A\alpha + B = \frac{P(\alpha )}{Q_1(\alpha )}$, $A\overline\alpha + B = \frac{P(\overline\alpha )}{Q_1(\overline\alpha )}$.

$A = \dfrac { \frac{P(\alpha )}{Q_1(\alpha )} - \frac{P(\overline\alpha )}{Q_1(\overline\alpha )} }{\alpha - \overline\alpha }$,$B = \dfrac { \frac{P(\overline\alpha )}{Q_1(\overline\alpha )}\alpha - \frac{P(\alpha )}{Q_1(\alpha )}\overline\alpha }{\alpha - \overline\alpha }$.

Покажем, что $A, B\in \mathbb {R}$.

$\overline{A} = \dfrac { \overline{ \frac{P(\alpha )}{Q_1(\alpha )} - \frac{P(\overline\alpha )}{Q_1(\overline\alpha )}} }{\overline{ \alpha - \overline\alpha } } =$ $\dfrac { \frac{P(\overline\alpha )}{Q_1(\overline\alpha )} - \frac{P(\alpha )}{Q_1(\alpha )} }{\overline\alpha - \alpha } = A$.

$\overline{B} = \dfrac { \overline{ \frac{P(\overline\alpha )}{Q_1(\overline\alpha )}\alpha - \frac{P(\alpha )}{Q_1(\alpha )}\overline\alpha } }{ \overline{\alpha - \overline\alpha } } =$ $\dfrac { \frac{P(\alpha )}{Q_1(\alpha )}\overline\alpha - \frac{P(\overline\alpha )}{Q_1(\overline\alpha )}\alpha }{\overline\alpha - \alpha } = B$. $\blacksquare$

Определение 9.10. Простейшими (элементарными) дробями называются рациональные дроби вида $\frac{A}{(x-x_0)^ n}$, $\frac{Ax+B}{(x^2 + px + q)^ n}$, $A, B, x_0, p, q \in \mathbb {R}$, $n\in \mathbb {N}$, трехчлен $x^2+p_ ix+q_ i$ не имеет действительных корней.

Из лемм 5, 6 и следует

Теорема 9.5 (о разложении правильных дробей). Если знаменатель правильной рациональной дроби $\frac{P(x)}{Q(x)}$ с действительными коэффициентами представлен в виде

$Q(x) = \alpha \prod \limits _{i=1}^ k(x-x_ i)^{\eta _ i} \cdot \prod \limits _{i=1}^ m (x^2 + p_ i x + q_ i)^{\mu _ i}$, где $\alpha \in \mathbb {R}, \eta _ i, \mu _ i, k, m \in \mathbb {N}, x_ i$ — действительные корни, а $x^2+p_ i x + q_ i$ не имеет действительных корней, то $\frac{P(x)}{Q(x)}$ единственным образом может быть записана в виде суммы простейших дробей: $\frac{P(x)}{Q(x)} = \sum \limits _{i=1}^ s\sum \limits _{k=1}^{\eta _ i} \frac{A^ k_ i}{(x-x_ i)^ k} +$ $\sum \limits _{i=1}^ m\sum \limits _{k=1}^{\mu _ i} \frac{B^ k_ i x + C^ k_ i}{(x^2 + p_ i x + q_ i)^ k}$, где $A_ i^ k, B_ i^ k, C_ i^ k$ — действительные числа.