10.1. Неопределённый интеграл и его свойства

Неопределённый интеграл и его свойства

Определение 10.1. Функция $F\colon I\to \mathbb {R}$ называется первообразной функции $f\colon I\to \mathbb {R}$ на промежутке $I\subset \mathbb {R}$, если $\forall x\in I\colon F'(x) = f(x)$ (в концах промежутка, если они ему принадлежат, производная подразумевается односторонней).

Теорема 10.1 (описание класса первообразных). Если $F$ — первообразная функции $f$ на промежутке $I$, то $F+C$, где $C$ — постоянная, также является первообразной $f$ на $I$. Если $F_1, F_2$ — первообразные функции $f$ на промежутке $I$, то разность $F_1-F_2$ постоянна на $I$ (т.е. $F_2 = F_1 + C$ на $I$).

$\blacktriangle$ Т.к. $(F + C)' = F' + C' = f$, то $F+C$ – первообразная $f$ на $I$.

Т.к. $(F_2 - F_1)' = F_2' - F_1' = 0$, то по следствию 1 Т.Лагранжа $F_2 - F_1$ постоянна на $I$. $\blacksquare$

Определение 10.2. Произвольная первообразная функции $f$ на промежутке $I$ называется неопределенным интегралом $f$ на $I$ и обозначается

$$\int \! \! f(x) dx.$$

Будем использовать обозначение $\int \! \! dg(x) := \int \! \! g(x) dx$.

Из теоремы 1 следует, что общий вид неопределенного интеграла функции $f$ на промежутке $I$:

$$\int \! \! f(x) dx = F(X) + C,$$

где $F$ — некоторая конкретная первообразная $f$ на $I$, $C$ — некоторая постоянная.

(Иногда под неопределённым интегралом подразумевают класс первообразных, мы будем подразумевать какую-то конкретную первообразную).

Свойства интеграла:

1. Если существует $\int \! \! f(x)dx$ на промежутке $I$, то $(\int \! \! f(x)dx)' = f(x)$ или $d(\int \! \! f(x)dx) = f(x)dx$.

2. Если $F$ дифференцируема на промежутке $I$, то $\int \! \! F'(x)dx = F(x) + C$, где $C$ — постоянная.

3. Если существуют $\int \! \! f(x) dx$ и $\int \! \! g(x) dx$ на промежутке $I$, то при любых $\alpha , \beta \in \mathbb {R}$ на $I$ существует $\int \! (\alpha f(x) + \beta g(x))dx = \alpha \int \! \! f(x) dx + \beta \int \! \! g(x) dx + C$, где $C$ — постоянная.

4. Интегрирование по частям.

   Если функции $u, v$ дифференцируемы на промежутке $I$ и существует $\int \! \! v(x) u'(x) dx$ на $I$, то на $I$ существует $\int \! \! u(x) v'(x) dx = u(x) v(x) - \int \! \! v(x) u'(x) dx + C$.

5. Формула замены переменной.

   Если $F$ — неопределённый интеграл функции $f$ на промежутке $I$, функция $\varphi$ дифференцируема на промежутке $J, \varphi (J) \subset I$, то на $J$ существует $\int \! \! f(\varphi (t)) \varphi '(t) dt = F(\varphi (t)) + C$.

   Замечание. Если $\exists \varphi ^{-1}$ на $\varphi (J)$, то $\int \! \! f(x) dx = \int \! \! f(\varphi (t))) \varphi '(t) dt|_{t=\varphi ^{-1}(x)} + C$.

6. Формула интегрирования обратной функции.

   Если функция $f$ имеет на $I$ конечную, неравную нулю производную и $F$ — неопределённый интеграл $f$ на $I$, то для обратной к $f$ на $I$ функции $f^{-1}$ существует на $f(I)$ интеграл:

   $\int \! \! f^{-1}(y) dy = yf^{-1}(y) - F(f^{-1}(y)) + C$.

   $\blacktriangle$ $\Phi (y) = y f^{-1}(y) - F(f^{-1}(y))$ — дифференцируема на $I$.

   $\Phi '(y) = y \cdot \frac1{f'(y)} + f^{-1}(y) - f(f^{-1}(y))\frac1{f'(y)} =$ $\frac{y}{f'(y)} + f^{-1}(y) - \frac{y}{f'(y)} = f^{-1}(y)$. $\blacksquare$