10.3. Интегрирование рациональных дробей
Из Л9.5 и Т9.5 вытекает, что любая рациональная дробь единственным образом представляется суммой многочлена и простейших дробей.
Покажем, как интегрируются простейшие дроби.
∫Ax−adx=Aln|x−a|+C.
∫A(x−a)ndx=A(x−a)−n+1−n+1=−A(n−1)(x−a)n−1+C,n>1.
-
∫Bx+Cx2+px+qdx=B2∫2x+px2+px+qdx+ (C−Bp2)∫dxx2+px+q= B2∫d(x2+px+q)x2+px+q+(C−B2)∫d(x+p2)(x+p2)2+q−p24=
=B2ln(x2+px+q)+(C−Bp2)√q−p24arctgx+p2√q−p24+˜C.
-
∫Bx+C(x2+px+q)ndx=B2∫2x+p(x2+px+q)ndx+ (C−Bp2)∫dx(x2+px+q)n=
=B2(x2+px+q)−n+1−n+1+(C−Bp2)∫d(x+p2)((x+p2)2+q−p24)n.
Заменой t=x+p2 и a=√q−p24.
Jn=∫dt(t2+a2)n.
Рассмотрим Jn,n⩾ u = \frac{1}{(t^2 + a^2)^ n}, du = -\frac{2nt}{(t^2+a^2)^{n+1}} dt. dt = dv, v = t.
J_ n = \int \frac{dt}{(t^2 + a^2)^ n} = \frac{t}{(t^2 + a^2)^ n} + 2n\int \frac{t^2}{(t^2+a^2)^{n+1}} dt = \frac{t}{(t^2+a^2)^ n} + 2nJ_ n - 2na^2J_{n+1}.
J_{n+1} = \frac1{2na^2}\left(\frac{t}{(t^2+a^2)^ n} + (2n-1)J_ n\right), J_1 = \frac1a \mathop {\rm arctg}\nolimits \frac{t}{a} + C.
Итак, все простейшие дроби можно проинтегрировать указанным способом за конечное число шагов и их первообразная — элементарная функция.
Теорема 10.2. Неопределённый интеграл от любой рациональной функции (рациональной дроби) выражается через рациональные функции (многочлены), функции \ln и \mathop {\rm arctg}\nolimits и следовательно является элементарной функцией.
Пример. \int \frac1{x^3 - 1}{dx}.
\frac1{x^3 - 1} = \frac1{(x-a)(x^2 + x + 1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Mx+N}{x^2+x+1}.
Коэффициенты находятся методом неопределённых приписаний.
1 = A(x^2+x+1) + (Mx+N)(x-1).
\begin{cases} A+M = 0,\\A-M+N=0,\\A-N=1. \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} A=\frac13,\\B=-\frac13,\\C=-\frac23. \end{cases}
I = \frac13\int \frac{dx}{x-1} - \frac13\int {x+2}{x^2+x+1}dx = \frac13\ln |x-1| - \frac16\int \frac{2x+1}{x^2+px+q}dx - \frac12\int \frac{dx}{x^2+x+1}dx + C=
=\frac13 \ln |x-1| - \frac16 \ln (x^2+x+1) - \frac12 \int \frac{d(x+\frac12)}{(x+\frac12)^2 + \frac34} + C= \frac13 \ln |x-1| - \frac16 \ln (x^2+x+1) - \frac1{\sqrt {3}} \mathop {\rm arctg}\nolimits \frac{2x+1}{\sqrt {3}} + C