10.3. Интегрирование рациональных дробей

Из Л9.5 и Т9.5 вытекает, что любая рациональная дробь единственным образом представляется суммой многочлена и простейших дробей.

Покажем, как интегрируются простейшие дроби.

1. $\int \frac{A}{x-a} dx = A \ln |x-a| + C$.

2. $\int \frac{A}{(x-a)^ n} dx = A \frac{(x-a)^{-n+1}}{-n+1} = -\frac{A}{(n-1)(x-a)^{n-1}} + C, n > 1$.

3. $\int \frac{Bx + C}{x^2+px+q} dx = \frac{B}{2} \int \frac{2x+p}{x^2+px+q} dx + $ $\left(C - \frac{Bp}{2}\right) \int \! \frac{dx}{x^2+px+q} = $ $\frac{B}{2} \int \! \frac{d(x^2+px+q)}{x^2+px+q} + \left(C - \frac{B}{2}\right) \int \! \frac{d(x+\frac{p}{2})}{(x + \frac{p}{2})^2 + q - \frac{p^2}{4}} =$

   $=\frac{B}{2} \ln (x^2 + px + q) + \frac{(C - \frac{Bp}{2})}{\sqrt {q - \frac{p^2}{4}}} \mathop {\rm arctg}\nolimits \frac{x + \frac{p}{2}}{\sqrt {q - \frac{p^2}{4}}} + \widetilde C$.

4. $\int \frac{Bx + C}{(x^2+px+q)^ n} dx = \frac{B}{2} \int \frac{2x+p}{(x^2+px+q)^ n}dx +$ $\left(C - \frac{Bp}{2}\right) \int \frac{dx}{(x^2 + px + q)^ n} = $

   $=\frac{B}{2} \frac{(x^2+px+q)^{-n+1}}{-n+1} + \left(C - \frac{Bp}{2}\right) \int \frac{d(x + \frac{p}{2})}{\left((x + \frac{p}{2})^2 + q - \frac{p^2}{4}\right)^ n}$.

   Заменой $t = x + \frac{p}{2}$ и $a = \sqrt {q - \frac{p^2}{4}}$.

   $J_ n = \int \frac{dt}{(t^2 + a^2)^ n}$.

   Рассмотрим $J_ n, n\geqslant 1\colon $ $u = \frac{1}{(t^2 + a^2)^ n}, du = -\frac{2nt}{(t^2+a^2)^{n+1}} dt$. $dt = dv, v = t$.

   $J_ n = \int \frac{dt}{(t^2 + a^2)^ n} = \frac{t}{(t^2 + a^2)^ n} + 2n\int \frac{t^2}{(t^2+a^2)^{n+1}} dt = $ $\frac{t}{(t^2+a^2)^ n} + 2nJ_ n - 2na^2J_{n+1}$.

   $J_{n+1} = \frac1{2na^2}\left(\frac{t}{(t^2+a^2)^ n} + (2n-1)J_ n\right)$, $J_1 = \frac1a \mathop {\rm arctg}\nolimits \frac{t}{a} + C$.

Итак, все простейшие дроби можно проинтегрировать указанным способом за конечное число шагов и их первообразная — элементарная функция.

Теорема 10.2. Неопределённый интеграл от любой рациональной функции (рациональной дроби) выражается через рациональные функции (многочлены), функции $\ln $ и $\mathop {\rm arctg}\nolimits $ и следовательно является элементарной функцией.

Пример. $\int \frac1{x^3 - 1}{dx}$.

$\frac1{x^3 - 1} = \frac1{(x-a)(x^2 + x + 1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Mx+N}{x^2+x+1}$.

Коэффициенты находятся методом неопределённых приписаний.

$1 = A(x^2+x+1) + (Mx+N)(x-1)$.

$\begin{cases} A+M = 0,\\A-M+N=0,\\A-N=1. \end{cases} \Leftrightarrow $ $\begin{cases} A=\frac13,\\B=-\frac13,\\C=-\frac23. \end{cases}$

$I = \frac13\int \frac{dx}{x-1} - \frac13\int {x+2}{x^2+x+1}dx =$ $\frac13\ln |x-1| - \frac16\int \frac{2x+1}{x^2+px+q}dx - \frac12\int \frac{dx}{x^2+x+1}dx + C=$

$=\frac13 \ln |x-1| - \frac16 \ln (x^2+x+1) - \frac12 \int \frac{d(x+\frac12)}{(x+\frac12)^2 + \frac34} + C=$ $\frac13 \ln |x-1| - \frac16 \ln (x^2+x+1) - \frac1{\sqrt {3}} \mathop {\rm arctg}\nolimits \frac{2x+1}{\sqrt {3}} + C$