Processing math: 40%
Page preview panel
ON OFF

This is the graph of pages.

All pages ("nodes") in Knowen belong to a directed acyclic graph: more general nodes are to the left (upstream), and more specific to the right (downstream).

Hover over a node to see the node preview; click to select a specific node; mouse scroll to zoom; click and drag to move.

Now you are in the subtree of Математический анализ project. 

10.3. Интегрирование рациональных дробей

Из Л9.5 и Т9.5 вытекает, что любая рациональная дробь единственным образом представляется суммой многочлена и простейших дробей.

Покажем, как интегрируются простейшие дроби.

  1. Axadx=Aln|xa|+C.

  2. A(xa)ndx=A(xa)n+1n+1=A(n1)(xa)n1+C,n>1.

  3. Bx+Cx2+px+qdx=B22x+px2+px+qdx+ (CBp2)dxx2+px+q= B2d(x2+px+q)x2+px+q+(CB2)d(x+p2)(x+p2)2+qp24=

    =B2ln(x2+px+q)+(CBp2)qp24arctgx+p2qp24+˜C.

  4. Bx+C(x2+px+q)ndx=B22x+p(x2+px+q)ndx+ (CBp2)dx(x2+px+q)n=

    =B2(x2+px+q)n+1n+1+(CBp2)d(x+p2)((x+p2)2+qp24)n.

    Заменой t=x+p2 и a=qp24.

    Jn=dt(t2+a2)n.

    Рассмотрим Jn,n u = \frac{1}{(t^2 + a^2)^ n}, du = -\frac{2nt}{(t^2+a^2)^{n+1}} dt. dt = dv, v = t.

    J_ n = \int \frac{dt}{(t^2 + a^2)^ n} = \frac{t}{(t^2 + a^2)^ n} + 2n\int \frac{t^2}{(t^2+a^2)^{n+1}} dt = \frac{t}{(t^2+a^2)^ n} + 2nJ_ n - 2na^2J_{n+1}.

    J_{n+1} = \frac1{2na^2}\left(\frac{t}{(t^2+a^2)^ n} + (2n-1)J_ n\right), J_1 = \frac1a \mathop {\rm arctg}\nolimits \frac{t}{a} + C.

Итак, все простейшие дроби можно проинтегрировать указанным способом за конечное число шагов и их первообразная — элементарная функция.

Теорема 10.2. Неопределённый интеграл от любой рациональной функции (рациональной дроби) выражается через рациональные функции (многочлены), функции \ln и \mathop {\rm arctg}\nolimits и следовательно является элементарной функцией.

Пример. \int \frac1{x^3 - 1}{dx}.

\frac1{x^3 - 1} = \frac1{(x-a)(x^2 + x + 1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Mx+N}{x^2+x+1}.

Коэффициенты находятся методом неопределённых приписаний.

1 = A(x^2+x+1) + (Mx+N)(x-1).

\begin{cases} A+M = 0,\\A-M+N=0,\\A-N=1. \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} A=\frac13,\\B=-\frac13,\\C=-\frac23. \end{cases}

I = \frac13\int \frac{dx}{x-1} - \frac13\int {x+2}{x^2+x+1}dx = \frac13\ln |x-1| - \frac16\int \frac{2x+1}{x^2+px+q}dx - \frac12\int \frac{dx}{x^2+x+1}dx + C=

=\frac13 \ln |x-1| - \frac16 \ln (x^2+x+1) - \frac12 \int \frac{d(x+\frac12)}{(x+\frac12)^2 + \frac34} + C= \frac13 \ln |x-1| - \frac16 \ln (x^2+x+1) - \frac1{\sqrt {3}} \mathop {\rm arctg}\nolimits \frac{2x+1}{\sqrt {3}} + C