Normalı fəzanın tamamlanması

$\newcommand{\bbC}{\mathbb{C}}$

Tutaq ki, $L$ normalı fəzadır. Hər bir normalı fəza həm də metrik fəza olduğu üçün bu fəzanın tamamlanması olan $\widetilde{L}$ tam metrik fəzasını qura bilərik. $L$ normalı fəzasının $\widetilde{L}$ tam metrik fəzasındakı izometrik obrazını $L$ ilə eyni hesab edəcəyik. Göstərək ki, $\widetilde{L}$ çoxluğunda xətti əməlləri və normanı elə təyin etmək olar ki,
$$\rho_{\widetilde{L}} (x, y) = \|x-y\|_{\widetilde{L}}$$
olsun.

İxtiyari $x$, $y \in \widetilde{L}$ elementləri götürək. Elə $x_n$, $y_n \in L$ ardıcıllıqları seçək ki,
$$\lim_{n \to \infty} \rho_{\widetilde{L}}(x_n, x) = \lim_{n \to \infty} \rho_{\widetilde{L}}(y_n, y) = 0$$
olsun. Onda $x_n + y_n$ ardıcıllığı fundamentaldır və $\widetilde{L}$ fəzası tam metrik fəza olduğu üçün yığılır. Bu ardıcıllığın limiti hansı $x_n$ və $y_n$ təmsilçilərinin seçilməsindən asılı deyil və həmin limiti $x + y$ olaraq qəbul edək. Eyni qayda ilə ixtiyari $\alpha \in \bbC$ ədədi verildikdə hər bir $x \in \widetilde{L}$ elementi üçün ona yığılan $x_n \in L$ ardıcıllığını seçib $\alpha x_n$ fundamental ardıcıllığının limitini $\alpha x$ olaraq qəbul edək. Bu cür təyin olunmuş toplama və ədədə vurma əməlləri xətti fəzanın bütün aksiomlarını ödəyir və nəticədə sıfır elementi $0_L$ olan $\widetilde{L}$ xətti fəzası almış oluruq.

Hər bir $x \in \widetilde{L}$ elementinin normasını
$$\|x\|_{\widetilde{L}} := \rho_{\widetilde{L}}(0_L, x) = \lim_{n \to \infty} \|x_n\|_L$$
kimi təyin edək, burada $x_n \in L$ ardıcıllığı $\widetilde{L}$ fəzasında $x$ elementinə yığılır. Aydındır ki, $\|x\|_{\widetilde{L}} \ge 0$ və $\rho_{\widetilde{L}}$ metrika olduğu üçün $\|x\|_{\widetilde{L}} = 0$ bərabərliyi yalnız və yalnız $x = 0_L$ olduqda mümkündür. İxtiyari $\alpha \in \bbC$ üçün
$$\|\alpha x\|_{\widetilde{L}} = \lim_{n \to \infty} \|\alpha x_n\|_L = |\alpha| \lim_{n \to \infty} \|x_n\|_L = |\alpha| \|x\|_{\widetilde{L}}.$$
Üçbucaq bərabərsizliyi də eyni qayda ilə $L$ normalı fəzasında doğru olan üçbucaq bərabərsizliyində limitə keçməklə alınır.