Skalyar hasilli fəzalar

$\newcommand{\bbC}{\mathbb{C}}$

$L$ xətti fəzasının hər $x$, $y$ elementlər cütünə bu elementlərin skalyar hasili adlanan və $\langle x, y \rangle$ kimi işarə olunan ədədi qarşı qoyan və aşağıdakı şərtləri ödəyən inikas skalyar hasil adlanır:
1) $\langle x, x \rangle \ge 0$; $\langle x, x \rangle = 0$ yalnız və yalnız $x = 0_L$ olduqda,
2) $\langle x, y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle}$,
3) $\langle \alpha x + \beta y, z \rangle = \alpha \langle x, z \rangle + \beta \langle y, z \rangle$.
Skalyar hasil ilə təchiz olunmuş xətti fəza skalyar hasilli fəza adlanır.

Lemma. (Koşi–Bunyakovski–Şvarts bərabərsizliyi) Skalyar hasilli fəzanın ixtiyari $x$ və $y$ elementləri üçün
$$|\langle x, y \rangle|^2 \le \langle x, x \rangle \langle y, y \rangle$$
bərabərsizliyi doğrudur. Bərabərlik halı isə yalnız və yalnız $x$ və $y$ elementləri xətti asılı olduqda baş verir.
İsbatı. Əgər $\langle x, y \rangle = 0$ olarsa bərabərsizliyin doğruluğu aydındır. Bərabərlik olması üçün isə $x$ və $y$ elementlərindən heç olmazsa biri sıfır element olmalıdır ki, bu halda da $x$ və $y$ xətti asılı olur.

İndi isə $\langle x, y \rangle \ne 0$ halına baxaq. İstənilən elementin özünə skalyar hasilinin mənfi olmamasına əsasən $\alpha = \langle x, x \rangle / \langle y, x \rangle$ qəbul etsək yaza bilərik:
$$0 \le \langle x - \alpha y, x - \alpha y \rangle = - \langle x, x \rangle + \frac{\langle x, x \rangle^2 \langle y, y \rangle}{|\langle x, y \rangle|^2}.$$
Buradan isə $\langle x, x \rangle \ge 0$ olduğunu nəzərə alsaq lemmadakı bərabərsizliyin doğruluğu alınır. Bərabərlik olması üçün isə $x = \alpha y$ olmalıdır.
$\square$

Skalyar hasilin aksiomları və Koşi–Bunyakovski–Şvarts bərabərsizliyindən çıxır ki, hər bir skalyar hasilli fəza
$$\|x\| := \sqrt{\langle x, x \rangle}$$
norması ilə birlikdə normalı fəzadır. Tam skalyar hasilli fəza Hilbert fəzası adlanır.

Nümunə. $\bbC^n$ fəzasında $x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$ və $y = (y_1, y_2, \ldots, y_n)$ elementlərinin skalyar hasilini
$$\langle x, y \rangle := x_1 \overline{y}_1 + x_2 \overline{y}_2 + \ldots + x_n \overline{y}_n$$
kimi təyin etsək skalyar hasilli fəza alarıq. Bu fəza Hilbert fəzasıdır.

Çalışma. Skalyar hasilli fəzada ixtiyari $x$ və $y$ elementləri üçün
$$\|x+y\|^2 + \|x-y\|^2 = 2\|x\|^2 + 2\|y\|^2$$
paraleloqram eyniliyi doğrudur.

Çalışma. $C[a,b]$ normalı fəzası skalyar hasilli fəza deyil, yəni $[a,b]$ parçasında kəsilməz olan bütün funksiyalar çoxluğunda elə skalyar hasil təyin etmək olmaz ki, hər bir $x = x(t)$ üçün
$$\sqrt{\langle x, x \rangle} = \max_{t \in [a,b]} |x(t)|$$
olsun.

Ortonormal sistemlər

Skalyar hasilli fəzanın $x$ və $y$ elementləri üçün $\langle x, y \rangle = 0$ olarsa, bu elementlər ortoqonal elementlər adlanır. Əgər $x_i$, $i \in I$ elementlər sisteminin ixtiyari iki müxtəlif elementi ortoqonal olarsa, belə sistem ortoqonal sistem adlanır. Buna əlavə olaraq, bu sistemin hər elementinin norması vahidə bərabər olarsa, yəni
$$\langle x_i, x_j \rangle = \left\{ \begin{array}{ll} 1, & i = j \textrm{ olduqda}, \\ 0, & i \ne j \textrm{ olduqda} \end{array} \right.$$
bərabərlikləri ödəndikdə, $x_i$ sisteminə ortonormal sistem deyilir. Ortonormal sistem tam olduqda, yəni bu sistemin xətti örtüyü hər yerdə sıx olduqda, belə sistem ortonormal bazis adlanır.

Nümunə. Kompleks ədədlərdən ibarət olan və $\sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^2 < \infty$ şərtini ödəyən bütün ədədi ardıcıllıqlar çoxluğunda $x = (x_1, x_2, \ldots)$ və $y = (y_1, y_2, \ldots)$ elementlərinin skalyar hasilini
$$\langle x, y \rangle := \sum_{n=1}^{\infty} x_n \overline{y}_n$$
ifadəsi ilə təyin edək. Bu fəza $\ell_2$ ilə işarə olunur və Hilbert fəzasıdır. $\ell_2$ fəzasında
\begin{gather*} e_1 = (1, 0, 0, 0, \ldots),\\ e_2 = (0, 1, 0, 0, \ldots),\\ e_3 = (0, 0, 1, 0, \ldots),\\ \vdots \end{gather*}
sistemi ortonormal bazis əmələ gətirir.

Tutaq ki, skalyar hasilli fəzada hər hansı xətti asılı olmayan $u_1$, $u_2$, $\ldots$ elementlər sistemi verilmişdir. Bu elementlər sistemi vasitəsilə düzəldilmiş
\begin{gather*} v_1 = \frac{u_1}{\|u_1\|},\\ v_2 = \frac{u_2 - \langle u_2, v_1 \rangle v_1}{\|u_2 - \langle u_2, v_1 \rangle v_1\|},\\ \vdots\\ v_n = \frac{u_n - \sum_{k=1}^{n-1} \langle u_n, v_k \rangle v_k}{\|u_n - \sum_{k=1}^{n-1} \langle u_n, v_k \rangle v_k\|},\\ \vdots \end{gather*}
sistemi ortonormal sistemdir. İxtiyari xətti asılı olmayan sistemin köməyi ilə ortonormal sistem düzəltməyə imkan verən bu proses Qram–Şmidt ortoqonallaşdırma prosesi adlanır.

Çalışma. Hər bir separabel skalyar hasilli fəzada ortonormal bazis var.