Xətti operatorlar və funksionallar

$\newcommand{\bbC}{\mathbb{C}}$
$\newcommand{\bbN}{\mathbb{N}}$
$\DeclareMathOperator{\codim}{codim}$
$\DeclareMathOperator{\im}{Im}$

Xətti operatorlar

$L$ xətti fəzasının $D(A)$ xətti altfəzasından $\widetilde{L}$ xətti fəzasına təsir edən $A \colon D(A) \to \widetilde{L}$ inikası ixtiyari $\alpha, \beta$ ədədləri və $x, y \in D(A)$ elementləri üçün

$$L(\alpha x + \beta y) = \alpha Lx + \beta Ly$$
bərabərliyini ödəyərsə, belə inikas xətti operator adlanır. Bu zaman $D(A)$ çoxluğuna $A$ operatorunun təyin oblastı,
$$\ker A := \{x \in D(A) \mid Ax = 0_{\widetilde{L}}\}$$
çoxluğuna bu operatorun nüvəsi,
$$\im A := \{y \in \widetilde{L} \mid \exists x \in D(A),\ Ax = y\}$$
çoxluğuna isə $A$ operatorunun obrazı deyilir.

Nümunə. $C[a,b]$ fəzasının $C^1[a,b]$ xətti altfəzasında təyin olunmuş

$$\frac{d}{dt} \colon x(t) \mapsto x'(t)$$
diferensiallama operatoru xəttidir. Bu operatorun nüvəsi bütün sabit funksiyalardan ibarətdir, obrazı isə bütöv $C[a,b]$ fəzası ilə üst-üstə düşür.

$L$ xətti fəzasından $\widetilde{L}$ xətti fəzasına təsir edən $\varphi \colon L \to \widetilde{L}$ xətti operatoru qarşılıqlı birqiymətli olarsa, yəni $D(A) = L$, $\ker A = \{0_L\}$ və $\im A = \widetilde{L}$ şərtlərini ödəyərsə, onda $\varphi$ inikası izomorfizm (və ya izomorf inikas) adlanır. Asanlıqla görmək olar ki, bu zaman $\varphi$ inikasının tərsi olan $\varphi^{-1}$ inikası da izomorfizmdir. Əgər $L$ və $\widetilde{L}$ xətti fəzaları arasında izomorf inikas varsa, onda $L$ və $\widetilde{L}$ izomorf xətti fəzalar adlanır.

Nümunə. Hər bir $n \in \bbN$ ədədi üçün $\bbC^n$ xətti fəzası ilə dərəcəsi $n-1$-i aşmayan bütün çoxhədlilərdən ibarət xətti fəza izomorf xətti fəzalardır. Bu fəzalar arasındakı izomorf inikası

$$(a_1, a_2, \ldots, a_n) \mapsto a_1 + a_2 t + \ldots + a_n t^{n-1}$$
kimi təyin etmək olar.

Çalışma. İki sonlu ölçülü xətti fəzanın izomorf olması üçün zəruri və kafi şərt bu xətti fəzaların ölçülərinin bərabər olmasıdır.

Xətti funksionallar

$L$ xətti fəzasından $\bbC$ xətti fəzasına təsir edən xətti operator xətti funksional adlanır.

Nümunə. Tutaq ki, $c \in [a,b]$. Onda $C[a,b] \ni x(t) \mapsto x(c) \in \bbC$ inikası $C[a,b]$ fəzasında xətti funksionaldır.

Lemma. Əgər $f$ xətti funksionalı eyniliklə sıfra bərabər deyilsə, onda $\codim\ker f = 1$.
İsbatı. Elə $x_1 \in L$ götürək ki, $f(x_1) \ne 0$ olsun və $x_0 := x_1 / f(x_1)$ qəbul edək. Onda $f(x_0) = 1$. İxtiyari $x \in L$ elementi üçün $x-f(x)x_0 \in \ker f$, yəni $x+M = f(x)(x_0+M)$ olar. Bu isə o deməkdir ki, $L / \ker f$ faktor-fəzasında hər bir $x+M$ elementi qeyd olunmuş $x_0+M$ elementinin mislidir.
$\square$