Processing math: 0%
Now you are in the subtree of Lecture Notes public knowledge tree. 

Xətti operatorlar və funksionallar

\newcommand{\bbC}{\mathbb{C}}
\newcommand{\bbN}{\mathbb{N}}
\DeclareMathOperator{\codim}{codim}
\DeclareMathOperator{\im}{Im}

Xətti operatorlar

L xətti fəzasının D(A) xətti altfəzasından \widetilde{L} xətti fəzasına təsir edən A \colon D(A) \to \widetilde{L} inikası ixtiyari \alpha, \beta ədədləri və x, y \in D(A) elementləri üçün
L(\alpha x + \beta y) = \alpha Lx + \beta Ly
bərabərliyini ödəyərsə, belə inikas xətti operator adlanır. Bu zaman D(A) çoxluğuna A operatorunun təyin oblastı,
\ker A := \{x \in D(A) \mid Ax = 0_{\widetilde{L}}\}
çoxluğuna bu operatorun nüvəsi,
\im A := \{y \in \widetilde{L} \mid \exists x \in D(A),\ Ax = y\}
çoxluğuna isə A operatorunun obrazı deyilir.

Nümunə. C[a,b] fəzasının C^1[a,b] xətti altfəzasında təyin olunmuş
\frac{d}{dt} \colon x(t) \mapsto x'(t)
diferensiallama operatoru xəttidir. Bu operatorun nüvəsi bütün sabit funksiyalardan ibarətdir, obrazı isə bütöv C[a,b] fəzası ilə üst-üstə düşür.

L xətti fəzasından \widetilde{L} xətti fəzasına təsir edən \varphi \colon L \to \widetilde{L} xətti operatoru qarşılıqlı birqiymətli olarsa, yəni D(A) = L, \ker A = \{0_L\}\im A = \widetilde{L} şərtlərini ödəyərsə, onda \varphi inikası izomorfizm (və ya izomorf inikas) adlanır. Asanlıqla görmək olar ki, bu zaman \varphi inikasının tərsi olan \varphi^{-1} inikası da izomorfizmdir. Əgər L\widetilde{L} xətti fəzaları arasında izomorf inikas varsa, onda L\widetilde{L} izomorf xətti fəzalar adlanır.

Nümunə. Hər bir n \in \bbN ədədi üçün \bbC^n xətti fəzası ilə dərəcəsi n-1-i aşmayan bütün çoxhədlilərdən ibarət xətti fəza izomorf xətti fəzalardır. Bu fəzalar arasındakı izomorf inikası
(a_1, a_2, \ldots, a_n) \mapsto a_1 + a_2 t + \ldots + a_n t^{n-1}
kimi təyin etmək olar.

Çalışma. İki sonlu ölçülü xətti fəzanın izomorf olması üçün zəruri və kafi şərt bu xətti fəzaların ölçülərinin bərabər olmasıdır.

Xətti funksionallar

L xətti fəzasından \bbC xətti fəzasına təsir edən xətti operator xətti funksional adlanır.

Nümunə. Tutaq ki, c \in [a,b]. Onda C[a,b] \ni x(t) \mapsto x(c) \in \bbC inikası C[a,b] fəzasında xətti funksionaldır.

Lemma. Əgər f xətti funksionalı eyniliklə sıfra bərabər deyilsə, onda \codim\ker f = 1.
İsbatı. Elə x_1 \in L götürək ki, f(x_1) \ne 0 olsun və x_0 := x_1 / f(x_1) qəbul edək. Onda f(x_0) = 1. İxtiyari x \in L elementi üçün x-f(x)x_0 \in \ker f, yəni x+M = f(x)(x_0+M) olar. Bu isə o deməkdir ki, L / \ker f faktor-fəzasında hər bir x+M elementi qeyd olunmuş x_0+M elementinin mislidir.
\square